Резонанс Гельмгольца (Jy[kuguv Iyl,bikl,eg)

Резонанс Гельмгольца — явление резонанса воздуха в полости, примером которого является гудение пустой бутылки от потока воздуха направленного внутрь горлышка нормально к поверхности края. Резонатор Гельмгольца — медный сосуд сферической формы с открытой горловиной, изобретённый Гельмгольцем около 1850 года для анализа акустических сигналов, на основе наблюдаемых в нём явлений Гельмгольцем и Рэлеем разработана количественная теория резонанса данного типа^[1].

Качественное объяснение

Для описания процесса колебаний в резонаторе Гельмгольца хорошо подходит акусто-механическая аналогия описывающая колеблющийся под действием возмущений газ в горле резонатора сосредоточенной массой и сопротивлением (демпфером), а деформируемый в объёме резонатора газ сосредоточенной упругостью. Совокупность массы, сопротивления и упругости образует классический механический колебательный контур типа "груз на пружинке" обладающий резонансной (собственной) частотой колебаний. Резонансная частота колебаний резонатора Гельмгольца главным образом зависит от размера и формы горла и объёма полости. Как и в любом другом колебательном контуре колебания в резонаторе Гельмгольца могут проявляться в виде автоколебаний или вынужденных колебаний. Пример автоколебаний — гудение пустой бутылки от потока воздуха направленного перпендикулярно её горлышку. Вынужденные колебания — та же бутылка, но без потока и с приходящими к ней извне акустическими возмущениями.

Количественное объяснение

Может быть показано^[2] что собственная угловая частота колебаний равна

\omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A^{2}}{m}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}},

где $\gamma$ — показатель адиабаты, значение которого обычно равно 1,4 для воздуха и двуатомных газов; $A$ — площадь сечения горлышка; $m$ — масса воздуха в горлышке; $P_{0}$ — статическое давление в полости; $V_{0}$ — статический объём полости.

Для цилиндрических горлышек

A={\frac {V_{n}}{L}},

где: $L$ — длина горлышка, $V_{n}$ — объём воздуха в горлышке, поэтому

\omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A}{m}}{\frac {V_{n}}{L}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}}.

По определению плотности:

{\frac {V_{n}}{m}}={\frac {1}{\rho }},

поэтому

\omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}{\frac {A}{V_{0}L}}}},

и

f_{\text{H}}={\frac {\omega _{H}}{2\pi }},

где $f_{H}$ — резонансная частота.

Скорость звука в газах равна

v={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}}},

поэтому можно выразить резонансную частоту через неё:

f_{\text{H}}={\frac {v}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{V_{0}L}}}.

Длина горлышка появляется в знаменателе потому, что инерция воздуха в горлышке пропорциональна массе воздуха в горлышке, а значит, и длине. Объём появляется в знаменателе потому, что коэффициент сжимаемости воздуха в полости обратно пропорционален объёму. Площадь сечения горлышка влияет двояко — чем больше площадь, тем больше масса воздуха в горлышке, и тем меньше скорость, с которой воздух устремляется внутрь и вовне.

Эта формула имеет границы применимости, зависящие от формы горлышка и толщины стенок резонатора. Исходя из примерно такой же физической модели можно получить более точную формулу^[3]. Кроме этого, если скорость потока рядом с резонатором высока (более 0,3 числа Маха), необходимо вводить дополнительные поправки.

Применение

Резонанс Гельмгольца применяется в двигателях внутреннего сгорания и в акустических системах. Системы впрыска топлива, называемые системами Гельмгольца, использовались в двигателях Chrysler V10, которыми комплектовались автомобили Dodge Viper и пикапы Ram, а также в мотоциклах Buell.

В струнных инструментах с полой декой, таких, как гитара или скрипка, один из пиков кривой резонанса — это резонанс Гельмгольца (остальные — это резонансные частоты деревянных частей инструмента). Окарина — резонатор с изменяемым сечением горлышка. Западноафриканский барабан джембе имеет относительно узкое горлышко, что придаёт ему глубокий басовый тон. Джаг — классический резонатор Гельмгольца.

Теория резонанса Гельмгольца используется при проектировании выхлопных труб автомобилей и мотоциклов, с целью сделать звук двигателя более тихим или более красивым.

Примечания

↑ Helmholtz, Hermann von (1885), On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music, Second English Edition, translated by Alexander J. Ellis. London: Longmans, Green, and Co., p. 44. Retrieved 2010-10-12.
↑ Derivation of the equation for the resonant frequency of an Helmholtz resonator Архивная копия от 28 февраля 2017 на Wayback Machine.
↑ Formulas of Acoustics.

Литература

Hermann von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music / Alexander John Ellis. — Longmans, Green, 1885. — 576 с.
Колебания и волны. Лекции. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

Ссылки

Oxford Physics Teaching, History Archive, «Exhibit 3 — Helmholtz resonators Архивная копия от 26 декабря 2020 на Wayback Machine» (archival photograph)
HyperPhysics Acoustic Laboratory
HyperPhysics Cavity Resonance
Beverage Bottles as Helmholtz Resonators // Science Project Idea for Students
Helmholtz Resonance

[Helmholtz1885-1] Helmholtz, Hermann von (1885), On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music, Second English Edition, translated by Alexander J. Ellis. London: Longmans, Green, and Co., p. 44. Retrieved 2010-10-12.

[2] Derivation of the equation for the resonant frequency of an Helmholtz resonator Архивная копия от 28 февраля 2017 на Wayback Machine.

[3] Formulas of Acoustics.

[1]

[2]

[3]