Раскрытие неопределённостей (Jgvtjdmny uykhjy;yl~uukvmyw)

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

$\left(\infty -\infty \right)$

$\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)$

$\left({\frac {0}{0}}\right)$

$\left(0\cdot \infty \right)$

$\left(0^{0}\right)$

$\left(\infty ^{0}\right)$

$\left(1^{\infty }\right)$

(Здесь ${\textstyle 0}$ — бесконечно малая величина, $\infty$ — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов $\left(~0^{0}\right)$, $\left(1^{\infty }\right)$, $\left(\infty ^{0}\right)$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

$\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)$

$\left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)$

$\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)$

Для раскрытия неопределённостей типа ${\frac {\infty }{\infty }}$ используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа $\left({\frac {0}{0}}\right)$ существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа $(\infty -\infty )$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть $f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty$ и $g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty$;

$\lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)$.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0$ — пример неопределённости вида $\left({\frac {0}{0}}\right)$. По правилу Лопиталя $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$. Второй способ — прибавить и отнять в числителе $a^{a}$ и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям $a^{x}$ и $x^{a}$ соответственно:

${\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}$

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.