Разложение Шеннона (Jg[lk'yuny Oyuukug)
В математике разложением Шеннона или декомпозицией Шеннона по переменной называется метод представления булевой функции от переменных в виде суммы двух подфункций от остальных переменных. Хотя этот метод часто приписывают Клоду Шеннону, но Буль доказал его гораздо раньше, а сама возможность такого разложения по любой из переменной непосредственно вытекает из возможности определения любой булевой функции с помощью таблицы истинности.
Разложение
[править | править код]Разложение Шеннона по переменной основано на том, что таблицу истинности для булевой функции от бинарных переменных можно разбить на две части таким образом, чтобы в первой части оказались только те входные комбинации, в которых переменная всегда принимает значение , а во второй части остались только те входные комбинации, в которых переменная всегда принимает значение (а её инвертированное значение принимает значение ). В результате становится справедливым следующее тождество, называемое разложением Шеннона:
где является разлагаемой булевой функцией, и являются неинвертированным и инвертированным значением переменной, по которой производится разложение, а и являются соответственно положительным и отрицательным дополнением для функции по переменной . В разложении Шеннона знаками и обозначены операции конъюнкции («И», AND) и дизъюнкции («ИЛИ», OR) соответственно, но тождество остается справедливым и при замене дизъюнкции на строгую дизъюнкцию (сложение по модулю 2, исключающее «ИЛИ», XOR), так как слагаемые никогда не принимают истинное значение одновременно (поскольку положительное дополнение объединено конъюнкцией с , а отрицательное дополнение объединено конъюнкцией с его инверсией ).
Положительное дополнение определяется той частью таблицы истинности, в которой переменная всегда принимает значение (а её инвертированное значение принимает значение ):
Отрицательное дополнение определяется оставшейся частью таблицы, в которой переменная всегда принимает значение (а инвертированное значение принимает значение ):
Теорема разложения Шеннона при всей своей очевидности является важной идеей в булевой алгебре для представления булевых функций в виде бинарных диаграмм решений, решения задачи выполнимости булевых формул и реализации множества других техник, относящихся к компьютерной инженерии и формальной верификации цифровых схем.
В статье «The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits»[1] Шеннон описал разложение функции по переменной как:
с последующим разложением по двум переменным, и отметил, что разложение может быть продолжено по любому количеству переменных.
Пример разложения
[править | править код]Пусть дана булева функция от трех переменных , и , записанная в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, то есть в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, каждая из которых содержит в одинаковом порядке каждую переменную или её дополнение (инверсию):
Для разложения по переменной эту функцию можно переписать в виде суммы:
получив разложение булевой функции по переменной путём простого применения свойства дистрибутивности для переменной и её дополнения (инверсии) :
Аналогично выполняется разложение функции по переменной или :
В свою очередь для каждой из оставшихся функций от меньшего числа переменных можно продолжить разложение по одной из оставшихся переменных.
Обобщение
[править | править код]В качестве переменной при разложении булевой функции могут выступать не только отдельные переменные, входящие в эту функцию, но любое мультиплексирующее условие. Например известно[источник не указан 975 дней] разложение по выражению (x > y) и его отрицанию.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Shannon, Claude E. The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits (англ.) // Bell System Technical Journal[англ.] : journal. — Vol. 28. — P. 59—98.
Ссылки
[править | править код]- Shannon’s Decomposition Example with multiplexers.
- Optimizing Sequential Cycles Through Shannon Decomposition and Retiming (PDF) Paper on application.