Пфаффиан (Hsgssngu)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера , и в этом случае его степень равна n.

Определение

[править | править код]

Пусть обозначает множество всех разбиений множества на неупорядоченные пары (всего существует таких разбиений). Разбиение может быть записано

где и . Пусть

обозначает соответствующую перестановку, а знак перестановки . Нетрудно видеть, что не зависит от выбора .

Пусть обозначает кососимметричную матрицу. Для разбиения определим

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера для нечётного n равен нулю по определению.

Рекурсивное определение

[править | править код]

Пфаффиан матрицы размера полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера при может быть определён рекурсивно следующим образом:

где индекс может быть выбран произвольно, функция Хевисайда, обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.

Альтернативное определение

[править | править код]

Для кососимметричной матрицы рассмотрим бивектор:

где есть стандартный базис в . Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

где обозначает внешнее произведение n копий .

Для кососимметричной матрицы и для произвольной матрицы :

  • Для блок-диагональной матрицы
  • Для произвольной матрицы :

Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания

[править | править код]
  1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Дата обращения: 29 ноября 2009. Архивировано 4 марта 2009 года.

Литература

[править | править код]