Пространство основных функций (Hjkvmjguvmfk kvukfud] srutenw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) , на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность сходится к , если:

  1. Функции равномерно финитны, то есть  — компакт в и в том числе .
  2. равномерно по .

Здесь  — ограниченная область в .

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца  — бесконечно гладких на функций, убывающих при быстрее любой степени вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций сходится к , если

равномерно по .

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

Литература

[править | править код]
  • В.С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. — изд. 2-е. — М.: Наука, 1979. — 320 с.