Пространство квадратично-суммируемых последовательностей (Hjkvmjguvmfk tfg;jgmncuk-vrbbnjrybd] hkvly;kfgmyl,ukvmyw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство, одно из базовых пространств последовательностей[англ.], состоит из бесконечных последовательностей чисел для которых ряд:

сходится и в котором определено расстояние между двумя точками как [1]:

.

Стандартное обозначение — [1]. Единственное из пространств последовательностей , являющееся гильбертовым.

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством:

, .

Скалярное произведение:

.

Норма в таком пространстве определяется как:

.

Примеры:

  • бесконечные последовательности вида входят в , так как ряд сходится;
  • коэффициенты ряда Фурье таковы, что , что следует из неравенства Бесселя.

Любое евклидово пространство является подпространством пространства , что следует из возможности представления его точек в виде .

Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга, использующей пространство , и волновой механики Шрёдингера, использующей изоморфное ему гильбертово пространство [2].

Пространство иногда называют координатным гильбертовым пространством[1].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М., Наука, 1968. — с. 32
  2. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: МГУ, 1960. — Т. II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство. — С. 94—96.

Литература

[править | править код]