Программа минимальных моделей (Hjkijgbbg bnunbgl,ud] bk;ylyw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий. Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия. Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.

Основные принципы

[править | править код]

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия , для которого любой бирациональный морфизм[англ.] с гладкой поверхностью является изоморфизмом.

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие , которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

  • Если имеет размерность Кодайры[англ.] , мы хотим найти многообразие , бирациональное к , и морфизм в проективное многообразие , такое, что , с антиканоническим классом[англ.] слоя общего вида , являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
  • Если не меньше 0, мы хотим найти , бирациональное с каноническим неф-классом[англ.] . В этом случае является минимальной моделью для .

Вопрос о несингулярности многообразий и , приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого , мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются терминальными сингулярностями[англ.].

Минимальные модели поверхностей

[править | править код]

Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Минимальные модели в пространствах высоких размерностей

[править | править код]

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют гладкие многообразия[англ.] , которые не бирациональны любому гладкому многообразию с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли неф-классом, так что число пересечений должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь дивизор Картье для некоторого положительного числа .)

Первым ключевым результатом является теорема о конусах[англ.] Мори, которая описывает структуру конуса кривых . Коротко, теорема показывает, что начиная с , можно по индукции построить последовательность многообразий , каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу . Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — перестройка[англ.], вид хирургии коразмерности 2 на . Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель за конечное число шагов.) Мори[1] показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил Шокуров[2] для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Биркар[англ.], Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Шокуров В.В. Трехмерные логперестройки // Изв. РАН. — 1992. — Т. 56, вып. 1. — С. 105–203.
  • Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Existence of minimal models for varieties of log general type // Journal of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 23, вып. 2. — С. 405–468. — doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3.
  • Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Higher-dimensional complex geometry // Astérisque. — 1988. — Вып. 166. — С. 144. — ISSN 0303-1179.
  • Osamu Fujino. New developments in the theory of minimal models // Sugaku. — Mathematical Society of Japan, 2009. — Т. 61, вып. 2. — С. 162–186. — ISSN 0039-470X.
  • János Kollár. The structure of algebraic threefolds: an introduction to Mori's program // American Mathematical Society. Bulletin. New Series. — 1987. — Т. 17, вып. 2. — С. 211–273. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0273-0979-1987-15548-0.
  • János Kollár. Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program // Astérisque. — 1989. — Вып. 177. — С. 303–326. — ISSN 0303-1179.
  • János Kollár. Rational curves on algebraic varieties. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. — Т. 32. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]). — ISBN 978-3-642-08219-1. — doi:10.1007/978-3-662-03276-3.
  • János Kollár, Shigefumi Mori. Birational geometry of algebraic varieties. — Cambridge University Press, 1998. — Т. 134. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-63277-5.
  • Kenji Matsuki. Introduction to the Mori program. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 978-0-387-98465-0.
  • Shigefumi Mori. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds. — Journal of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 1. — С. 117–253. — doi:10.2307/1990969.
  • Yujiro Kawamata. Mori theory of extremal rays // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 1994. — ISBN 978-1-55608-010-4.