Программа минимальных моделей (Hjkijgbbg bnunbgl,ud] bk;ylyw)

Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий. Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия. Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.

Основные принципы

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия $X$ , для которого любой бирациональный морфизм^[англ.] $f:X\rightarrow X'$ с гладкой поверхностью $X'$ является изоморфизмом.

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие $X$ , которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

Если $X$ имеет размерность Кодайры^[англ.] $\kappa (X,K_{X})=-\infty$ , мы хотим найти многообразие $X^{\prime }$ , бирациональное к $X$ , и морфизм $f:X'\rightarrow Y$ в проективное многообразие $Y$ , такое, что $\mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }$ , с антиканоническим классом^[англ.] $-K_{F}$ слоя общего вида $F$ , являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
Если $\kappa (X,K_{X})$ не меньше 0, мы хотим найти $X'$ , бирациональное $X$ с каноническим неф-классом^[англ.] $K_{X^{\prime }}$ . В этом случае $X'$ является минимальной моделью для $X$ .

Вопрос о несингулярности многообразий $X'$ и $X$ , приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого $X$ , мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются терминальными сингулярностями^[англ.].

Минимальные модели поверхностей

Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм $f:X\rightarrow Y$ должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Минимальные модели в пространствах высоких размерностей

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют гладкие многообразия^[англ.] $X$ , которые не бирациональны любому гладкому многообразию $X'$ с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли $K_{X'}$ неф-классом, так что число пересечений $K_{X'}{\cdot }C$ должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь $nK_{X'}$ дивизор Картье для некоторого положительного числа $n$ .)

Первым ключевым результатом является теорема о конусах^[англ.] Мори, которая описывает структуру конуса кривых $X$ . Коротко, теорема показывает, что начиная с $X$ , можно по индукции построить последовательность многообразий $X_{i}$ , каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу $K_{X_{i}}$ . Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие $X_{i}$ может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — перестройка^[англ.], вид хирургии коразмерности 2 на $X_{i}$ . Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель $X'$ за конечное число шагов.) Мори^[1] показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил Шокуров^[2] для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Биркар^[англ.], Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.

Литература

Шокуров В.В. Трехмерные логперестройки // Изв. РАН. — 1992. — Т. 56, вып. 1. — С. 105–203.
Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Existence of minimal models for varieties of log general type // Journal of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 23, вып. 2. — С. 405–468. — doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3.
Herbert Clemens, János Kollár, Shigefumi Mori. Higher-dimensional complex geometry // Astérisque. — 1988. — Вып. 166. — С. 144. — ISSN 0303-1179.
Osamu Fujino. New developments in the theory of minimal models // Sugaku. — Mathematical Society of Japan, 2009. — Т. 61, вып. 2. — С. 162–186. — ISSN 0039-470X.
János Kollár. The structure of algebraic threefolds: an introduction to Mori's program // American Mathematical Society. Bulletin. New Series. — 1987. — Т. 17, вып. 2. — С. 211–273. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0273-0979-1987-15548-0.
János Kollár. Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program // Astérisque. — 1989. — Вып. 177. — С. 303–326. — ISSN 0303-1179.
János Kollár. Rational curves on algebraic varieties. — Berlin: Springer-Verlag, 1996. — Т. 32. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]). — ISBN 978-3-642-08219-1. — doi:10.1007/978-3-662-03276-3.
János Kollár, Shigefumi Mori. Birational geometry of algebraic varieties. — Cambridge University Press, 1998. — Т. 134. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-63277-5.
Kenji Matsuki. Introduction to the Mori program. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 978-0-387-98465-0.
Shigefumi Mori. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds. — Journal of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Т. 1. — С. 117–253. — doi:10.2307/1990969.
Yujiro Kawamata. Mori theory of extremal rays // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 1994. — ISBN 978-1-55608-010-4.

[_0d6381e1ee0ac9de-1] Mori, 1988.

[_cebbd6ded605aa83-2] Шокуров, 1992.

[1]

[2]