Признак совпадения пределов (Hjn[ugt vkfhg;yunx hjy;ylkf)

Признак совпадения пределов. Если существуют двойной предел и при каждом $n$ предел $\lim _{m\to \infty }s_{n,m}$ , то повторный предел существует и совпадает с двойным:

\lim _{n,m\to \infty }s_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }s_{n,m}.\qquad (*)

Доказательство

Если $\varepsilon >0,$ то для достаточно больших $n$ и $m$ выполняется $s-\,\varepsilon \leqslant s_{n}$ _$m$ $\leqslant s+\varepsilon .$ Перейдём в этом неравенстве к пределу при $m\rightarrow \infty$ и получим $s-\,\varepsilon \leqslant \lim _{m\to \infty }s_{n}$ _$m$ $\leqslant s+\varepsilon .$ Откуда и следует $(*).$