Признак Паскаля (Hjn[ugt Hgvtglx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

При́знак Паска́ля — математический метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Пусть есть натуральное число , записываемое в десятичной системе счисления как , где — единицы, — десятки и т. д.

Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления на
— остаток от деления на
— остаток от деления на
— остаток от деления на .

Формально:

Так как остатков конечное число (а именно не больше ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности . Для единообразия можно принять, что .

Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число

.

Доказательство

[править | править код]

Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю можно заменять числа их остатками от деления на , получаем:

Основные частные случаи

[править | править код]

Признак делимости на 2

[править | править код]

Здесь . Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра чётна.

Признаки делимости на 3 и 9

[править | править код]

Здесь или . Так как (остаток от деления 10 как на 3, так и на 9 равен 1), то все . Значит, остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления суммы его цифр на 3 (соответственно, 9), или иначе: число делится на 3 (или 9), если сумма его цифр делится на 3 (или 9).

Признак делимости на 4

[править | править код]

Здесь . Находим последовательность остатков: . Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5

[править | править код]

Здесь . Так как , то . Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 7

[править | править код]

Здесь . Находим остатки.

  1. , цикл замкнулся.

Следовательно, для любого числа

его остаток от деления на 7 равен

.

Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,

,

а значит, 48916 делится на 7.

Признак делимости на 11

[править | править код]

Здесь . Так как , то все , а . Отсюда можно получить простой признак делимости на 11:

остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления его суммы цифр, где каждая нечётная (начиная с единиц) цифра взята со знаком «−», на 11.

Проще говоря:

если разбить все цифры числа на 2 группы — через одну цифру (в одну группу попадут все цифры с нечётными позициями, в другую — с чётными), сложить все цифры в каждой группе и вычесть одну полученную сумму из другой, то остаток от деления на 11 результата будет такой же, что и у первоначального числа.

Литература

[править | править код]
  • Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 39. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.