Предел числовой последовательности (Hjy;yl cnvlkfkw hkvly;kfgmyl,ukvmn)
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от , такой, что для любого выполняется неравенство .
В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.
История
[править | править код]Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
Определение
[править | править код]Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
- (для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)
Если число является пределом числовой последовательности , то говорят также, что последовательность сходится к . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности , её называют расходящейся.
Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,
Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Обозначения
[править | править код]Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:
или
Свойства
[править | править код]Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.
Свойства
[править | править код]- Единственность предела.
Арифметические свойства
[править | править код]- взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
- Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
- Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
- Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
- Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
- Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
Свойства сохранения порядка
[править | править код]- Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
- Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
- Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
- Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
- Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
- Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
Другие свойства
[править | править код]- Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
- Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
- Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
- Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
- У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
- Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.
- Имеет место теорема Штольца.
- Если у последовательности существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
- Если у последовательности чисел существует предел , и если задана функция , определённая для каждого и непрерывная в точке , то
Примеры
[править | править код]Случай комплексных чисел
[править | править код]Комплексное число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер , начиная с которого все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству
при
Последовательность , имеющая предел , называется сходящейся к числу , что записывается в виде .
Примеры
[править | править код]Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве последовательность , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).
См. также
[править | править код]- Частичный предел
- Замечательные пределы
- Фундаментальная последовательность
- Ряд
- Предел функции
- Неопределённости пределов
- Сравнение бесконечно малых величин
- Последовательность
Примечания
[править | править код]- ↑ Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.