Плюрисубгармоническая функция (HlZjnvrQigjbkuncyvtgx srutenx)

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция $u=u({\vec {z}})$ , от $n$ комплексных переменных ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ в области $D$ комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ , $n\geqslant 1$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$u(z)$ полунепрерывна сверху всюду в $D$ ;
$u(z_{0}+\lambda a)$ есть субгармоническая функция переменного $\lambda \in \mathbb {C}$ в каждой связной компоненте открытого множества $\{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\}$ для любых фиксированных точек $z_{0}\in D$ , $a\in \mathbb {C} ^{n}$ .

Примеры

$\ln |f(z)|$ , $|f(z)|^{p}$ при $p\geqslant 0$ , где $f(z)$ — голоморфная функция в $D$ .

Связанные определения

Функция $v(z)$ называется плюрисупергармонической функцией, если $-v(z)$ есть плюрисубгармноническая функция.

Свойства

Плюрисубгармонические функции являются субгармоническими, но при $n>1$ обратное не верно.

Помимо общих свойств субгармонических функций, для плюрисубгармонических функций справедливы следующие:

$u(z)$ есть плюрисубгармоническая функция в области $D$ тогда и только тогда, когда $u(z)$ — плюрисубгармоническая функция в окрестности каждой точки $z\in D$ ;
линейная комбинация плюрисубгармонических функций с положительными коэффициентами есть плюрисубгармоническая функция;
пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей плюрисубгармонических функций суть плюрисубгармоническиe;
для любой точки $z_{0}\in D$ среднее значение

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

по сфере радиуса $r$ , есть возрастающая функция по $r$ , выпуклая относительно $\ln r$ на отрезке $0<r<R$ , если шар $B_{R}(z_{0})$ расположен в $D$ ;

при голоморфных отображениях плюрисубгармоническая функция переходит в плюрисубгармоническую;
если $u(z)$ — непрерывная плюрисубгармоническая функция в области $D$ , $E$ — замкнутое связное аналитическое подмножество $D$ и сужение $u|_{E}$ достигает максимума на $E$ , то $u(z)=\mathrm {const}$ на $E$ .

См. также

Плюригармоническая функция

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука, 1976. — 720 с.
Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — Москва: Государственное издательство физико- математической литературы, 1963. — 428 с.