Плотность тока (Hlkmukvm, mktg)

Плотность тока
${\vec {j}}$
Размерность	L−2I
Единицы измерения
СИ	А/м2
Примечания
векторная величина

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м²/c или, что то же самое, А/м².

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд $q$, плотность тока вычисляется по формуле

${\vec {j}}=n\,q\,{\vec {v}}$,

где $n$ (м^-3) — концентрация носителей, а ${\vec {v}}$ — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

$j=|{\vec {j}}|={\frac {I}{S}}$,

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина $j$ в формуле выше.

Варианты вычисления плотности тока

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости ${\vec {v}}$ и имеют одинаковые заряды $q$ (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их $n$,

${\vec {j}}=n\,q\,{\vec {v}}=\rho _{q}{\vec {v}},$

где $\rho _{q}$ — плотность заряда этих носителей. Направление вектора ${\vec {j}}$ соответствует направлению вектора скорости ${\vec {v}}$, с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под ${\vec {v}}$ следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

${\vec {j}}=\sum _{s}n_{s}q_{s}{\vec {v}}_{s}$,

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где $n_{s}$ — концентрация частиц, $q_{s}$ — заряд частицы, ${\vec {v}}_{s}$ — вектор средней скорости частиц $s$-го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма $V$, содержащего рассматриваемую точку:

${\vec {j}}={\frac {1}{V}}\sum _{i}q_{i}{\vec {v}}_{i}$.

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила тока

Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

$I=\left|\int \limits _{S}({\vec {j}}\cdot d{\vec {S}})\right|=\left|\int \limits _{S}j_{n}\,dS\right|$,

где $j_{n}$ — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью $dS$; вектор $d{\vec {S}}$ — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет $j=I/S$.

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамики

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения Максвелла

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$,

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции ${\vec {D}}$; значок $\partial$ обозначает частную производную (по времени $t$). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

$\nabla \cdot {\vec {j}}+{\partial \rho _{q} \over \partial t}=0$.

Закон Ома в дифференциальной форме

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}$,

где $\sigma \$ — удельная проводимость среды, ${\vec {E}}$ — напряжённость электрического поля. Или:

${\vec {j}}={\frac {1}{\rho }}\,{\vec {E}}$,

где $\rho \$ — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность $\sigma$ в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

$w={\vec {E}}\cdot {\vec {j}}$,

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

$w=\sigma E^{2}={\frac {j^{2}}{\sigma }}\equiv \rho j^{2}$,

где $\sigma$ и $\rho$ — скаляры. Для анизотропного случая будет

$w={\vec {E}}\sigma {\vec {E}}={\vec {j}}\rho {\vec {j}}$,

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор $\sigma$ и тензор $\rho$ порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

Основная статья: 4-ток

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда $\rho _{q}$ и 3-вектора плотности тока ${\vec {j}}:$

$J^{\mu }=(c\rho _{q},{\vec {j}}),$

где $c$ — скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.