Параллельные плоскости (Hgjgllyl,udy hlkvtkvmn)

Согласно классическому определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем.

Аналитическое определение параллельных плоскостей:

если плоскости $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ параллельны, то нормальные векторы $N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})$ и $N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Примеры

• Плоскости $2x-3y-4z+11=0$ и $-4x+6y+8z+36=0$ параллельны, так как ${\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}$.
• Плоскости $2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)$ и $4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)$ непараллельны, так как $B_{1}=0$, а $B_{2}\neq 0$.

Замечание

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если ${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}},$ то плоскости совпадают. Так уравнения $3x+7y+5z+4=0$ и $6x+14y+10z+8=0$ представляют одну и ту же плоскость.