Относительная внутренность (Kmukvnmyl,ugx furmjyuukvm,)

Относительная внутренность множества — уточнение концепции внутренности, применяется при работе со множествами низкой размерности в пространствах высокой размерности. Для заданного множества $S$ определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества $S$:

$\operatorname {relint} S:=\{x\in S\mid \exists \varepsilon >0,N_{\varepsilon }(x)\cap \operatorname {aff} S\subseteq S\}$,

где $\operatorname {aff} S$ означает аффинную оболочку множества $S$, а $N_{\varepsilon }(x)$ — шар радиуса $\varepsilon$ с центром в $x$. Может быть использована любая метрика для построения шара: все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ относительная внутренность может быть определена как:

$\operatorname {relint} C:=\{x\in C\mid \forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}$.

Литература

• Zălinescu C. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. — ISBN 978-0-691-01586-6. Первое издание — 1970
• Dimitri Bertsekas. Nonlinear Programming. — 2. — Belmont, Massachusetts: Athena Scientific, 1999. — ISBN 978-1-886529-14-4.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — С. 23. — ISBN 0-521-83378-7.