Основания геометрии (Kvukfgunx iykbymjnn)
Основания геометрии — область математики, изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий. Основные вопросы состоят в полноте, независимости и непротиворечивости аксиоматических систем. Основания геометрии также связаны с вопросом преподавания геометрии.
История
[править | править код]Основания геометрии стали изучаться после появления геометрии Лобачевского. Первой задачей стала формализация и пополнение системы аксиом евклидовой геометрии.
Аксиоматика Евклида не была полной, и в доказательствах Евклид пользовался неявно аксиомами, которые не представлены в его списке аксиом. Например, Евклид использовал без доказательства то, что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекаются в двух точках.
Из неявно используемых аксиом можно назвать следующие:
Родоначальником оснований геометрии следует считать Морица Паша. В своей книге «Vorlesungen über neuere Geometrie», опубликованной в 1882 году, Паш создал формальные системы, свободные от каких-либо интуитивных влияний. Он впервые использовал так называемое «неопределяемое понятие» (нем. Kernbegriffe) в дополнение к аксиомами (нем. Kernsätzen). Работы Паша повлияли на многих других математиков, в частности, Гильберта, Пеано и Пьери.
Аксиомы Евклида
[править | править код]Аксиоматика Евклида — первая и не полная система. Она состояла из определений
- Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
- Линия — длина без ширины.
- Края же линии — точки.
- Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
- Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
- Края же поверхности — линии.
- Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
и постулатов
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Полные системы аксиом
[править | править код]- Аксиоматика Гильберта — самая популярная и наиболее консервативная полная система аксиом евклидовой геометрии, построенная на основе аксиом Евклида. Состоит из 20 аксиом и поделена на 5 групп.
- Аксиоматика Тарского.
- Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.
- Аксиомы Биркгофа — система аксиом, использующая вещественные числа как готовый блок, и как результат очень компактная, всего 4 аксиомы.
- Аксиоматика Бахмана — построение геометрии на основе понятия симметрии.[1]
- Аксиоматика Александрова — система аксиом, схожая с Гильбертовской, но без чрезмерной формализации.
Примечания
[править | править код]- ↑ Фридрих Бахман. Построение геометрии на основе понятия симметрии. — 1969.
Литература
[править | править код]- Александров А. Д. Основания геометрии. — 1987.
- Гильберт Д. Основания геометрии. — 1948. — (Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия).
- Н. В. Ефимов. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0267-2.
- Норден А. П. (ред.). Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского. — ГИТТЛ, 1956. — (Классики естествознания, Книга 113).
- Погорелов А. В. Основания геометрии. — Наука, 1979.