Ортогональное дополнение (Kjmkikugl,uky ;khkluyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Ортогональное дополнение подпространства векторного пространства с билинейной формой  — это множество всех векторов , ортогональных каждому вектору из . Это множество является векторным подпространством , которое обычно обозначается .

Определение

[править | править код]

Пусть  — векторное пространство над полем с билинейной формой . Вектор ортогонален слева вектору , а вектор ортогонален справа вектору тогда и только тогда, когда Левое ортогональное дополнение подпространства  — это множество векторов, ортогональных слева каждому вектору , то есть

Аналогичным образом определяется правое ортогональное дополнение. Для симметричной или кососимметричной билинейной формы поэтому определения левого и правого ортогонального дополнения совпадают.

Определение можно перенести на случай свободного модуля над коммутативным кольцом.[1]

  • Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.
  • Если , то
  • Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.
  • Если форма является невырожденной, а пространство конечномерно, то
  • Если же  — конечномерное евклидово пространство и  — скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства разлагается в прямую сумму и [2]

Пусть  — двумерное пространство с базисом , и матрица билинейной формы в этом базисе имеет вид Тогда ортогональное дополнение подпространства, натянутого на вектор  — это множество таких векторов что Например, ортогональное дополнение пространства, натянутого на вектор , совпадает с ним самим, тогда как ортогональное дополнение натянуто на вектор .

Примечания

[править | править код]
  1. Adkins, Weintraub (1992) p.359
  2. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, с.212.

Литература

[править | править код]
  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
  • Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
  • Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002