| Определитель Грама |
|---|
| Определяющая формула |
 |
|---|
Определителем Грама (грамианом) системы векторов 
в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:
где 
— скалярное произведение векторов 
и 
.
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:
Пусть в евклидовом пространстве 
система векторов порождает подпространство 
. Зная, чему равны скалярные произведения вектора 
из с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора 
по векторам .
Исходя из разложения
получается линейная система уравнений с матрицей Грама:
Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти расстояние от до .
Минимум расстояний 
по всем векторам 
из достигается на ортогональной проекции вектора на . При этом 
, где вектор 
перпендикулярен всем векторам из , и расстояние от до равно модулю вектора . Для вектора решается задача о разложении (см. выше) по векторам , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:
где 
— определитель Грама системы. Вектор равен:
и квадрат его модуля равен
Из этой формулы индукцией по 
получается следующее утверждение:
- Определитель Грама системы векторов равен квадрату объёма -мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.
