Окружность Аполлония (Ktjr'ukvm, Ghkllkunx)

Перейти к навигации Перейти к поиску
не зависит от .
Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Определение

[править | править код]

Пусть на плоскости даны две точки и . Рассмотрим все точки этой плоскости, для каждой из которых отношение

есть фиксированное положительное число. При эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

  • Точки и называются фокусами окружности Аполлония.
  • Радиус окружности Аполлония равен
  • Отрезок между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним.
  • Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки и местами.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

[править | править код]
  • Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.[1]
  • Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.[2]
  • Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.

Приложения

[править | править код]
  • Похоже определяемые кривые
    • Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами;
    • Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами;
    • овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.

Примечания

[править | править код]