Нулевой морфизм (Urlyfkw bkjsn[b)
В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.
Определение
[править | править код]Пусть C — категория, и f : X → Y — морфизм в C. f называется постоянным морфизмом, если для любого объекта W в C и любых g, h : W → X, fg = fh. Соответственно, f называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта Z и любых g, h ∈ MorC(Y, Z), gf = hf. Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.
Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов A и B зафиксирован морфизм 0AB : A → B, такой что для любых объектов X, Y, Z в C и любых морфизмов f : Y → Z, g : X → Y следующая диаграмма коммутативна:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/ZeroMorphism.png/160px-ZeroMorphism.png)
Тогда морфизмы 0XY обязательно являются нулевыми. Если C — категория с нулевыми морфизмами, то 0XY определены однозначно.
Примеры
[править | править код]- В категории групп (или модулей) нулевой морфизм — это гомоморфизм f : G → H, отображающий все элементы G в нейтральный элемент H. нулевой объект в категории групп — это тривиальная группа 1 = {1}. Каждый нулевой морфизм проносится через 1, то есть f : G → 1 → H.
- Более общо, пусть C — категория с нулевым объектом 0. Тогда для любых двух объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов
- 0XY : X → 0 → Y
- Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.
- Если C — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов set Mor(X,Y) является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая C категорией с нулевыми морфизмами.
- Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет начальный объект, пустое множество ∅. Единственные копостоянные функции в Set — это функции вида ∅ → X.
Литература
[править | править код]- Параграф 1.7 Pareigis, Bodo. Categories and functors (неопр.). — Academic Press, 1970. — Т. 39. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.
- Herrlich, Horst; Strecker, George E. Category Theory (неопр.). — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973..