Номограмма (Ukbkijgbbg)

Номогра́мма (от др.-греч. νόμος — закон и γράμμα — письмо) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Номография

Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. Разработка теории номографических построений началась в XIX веке. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Л. Лаланном (1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма», установленный для применения в 1890 году Международным математическим конгрессом в Париже. Первым в России в этой области работал Н. М. Герсеванов (1906—1908); затем — создавший советскую номографическую школу Н. А. Глаголев.

Номограмма из выровненных точек. Таблица умножения. В качестве примера показано умножение 6·8

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:

из выровненных точек: Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой — отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии — раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм.
сетчатые: Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т. д.
транспарантные: В простейшем случае состоит из двух плоскостей — основной плоскости и транспаранта — с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы — логарифмическая линейка.

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.

Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.

Примеры

Сопротивление при параллельном включении / тонкие линзы

Номограмма вычисления электрического сопротивления при параллельном включении

Номограмма на рисунке позволяет вычислить

{\frac {1}{1/A+1/B}}.

Номограмма интересна тем, что позволяет осуществить полезные нелинейные вычисления с помощью прямой линии при линейно градуированных шкалах.

A и B отмеряются на горизонтальной и вертикальной шкалах, а результат считывается с диагональной шкалы. Будучи пропорциональной среднему гармоническому чисел A и B, формула имеет несколько приложений. Например, сопротивление соединённых параллельно проводников в электрических сетях и уравнение тонких линз в оптике.

На рисунке красная линия показывает, что при параллельном соединении сопротивлений 56 и 42 ом сопротивление цепи составит 24 ома. Номограмма также показывает, что объект на расстоянии 56 см от линзы с фокусным расстоянием 24 см образует оптическое изображение на расстоянии 42 см.

Номограмма вычисления критерия хи-квадрат

Номограмму на рисунке можно использовать для приближённого вычисления некоторых величин, которые нужны для вычисления хорошо известного критерия согласия Пирсона. Эта номограмма показывает применение кривых шкал с нелинейной градуировкой.

Соответствующее выражение:

{\frac {({\text{observed}}-{\text{expected}})^{2}}{\text{expected}}}.

Шкала сверху соответствует пяти различным интервалам наблюдаемых значений — A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение ищется среди этих значений и выбирается метка над ним. Затем на соответствующих кривых шкалах выбирается ожидаемое значение. Например, для наблюдаемого значения 9 выбирается метка над числом 9 в интервале A, а кривая шкала A используется для ожидаемого значения. Для наблюдаемого значения 81 будет использована метка над 81 в интервале E и кривая шкала E для ожидаемого значения. Это позволяет несколько номограмм вместить в одну диаграмму.

На рисунке синяя линия показывает вычисление

(9 − 5)²/ 5 = 3,2,

а красная — вычисление

(81 − 70)² / 70 = 1,7.

Для проведения теста часто используется поправка Йейтса — просто вычитается 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмма для критерия с поправкой Йетса может быть построена просто сдвигом каждой шкалы «наблюдений» на половинку единицы влево, так что вместо 1,0, 2,0, 3,0, … появятся значения 0,5, 1,5, 2,5, ….

См. также

Литература

Пентковский М. В. Номография. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. — 280 с. — (Физико-математическая библиотека инженера).
Пентковский М. В. Считающие чертежи. (Номограммы). — 2 изд. — М., 1959.
Герсеванов Н. М. Основы номографии. — 2 изд. — М.—Л., 1932.
Глаголев Н. А. Теоретические основы номографии. — 2 изд. — М.—Л.: ГТТИ, 1936.
Глаголев Н. А. Курс номографии. — 2 изд. — М., 1961.
Невский Б. А. Справочная книга по номографии. — 2 изд. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 376 с.
Номографический сборник. — М., 1951.
Номография / Пентковский М. В. // Никко — Отолиты. — М. : Советская энциклопедия, 1974. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 18).
Хованский Г. С. Номография // Под ред. И. М. Виноградова Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Координаты — Одночлен.
G. S. Khovanskii. Nomography (англ.) // Encyclopedia of Mathematics. — Springer, European Mathematical Society. — ISBN 1402006098.

Ссылки

Java Applet (англ.)для создания простейших номограмм.