Неравенство Эрдёша — Морделла (Uyjgfyuvmfk |j;~og — Bkj;yllg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Неравенство Эрдёша — Морделла : MA + MB + MC ≥ 2(MH + MK +ML)

Неравенство Эрдёша — Морделла (неравенство Эрдёша — Морделла — Барроу) — планиметрическое утверждение, устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника.

Неравенство

[править | править код]

Пусть точка лежит внутри треугольника . Обозначим расстояния от точки до сторон треугольника через , а расстояния от точки до вершин через . Тогда

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году (Erdős 1935). Через два года доказательство дал Морделл (Mordell & Barrow 1937). Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в (Kazarinoff 1957), (Bankoff 1958) и (Alsina & Nelsen 2007).

  • А. Егоров. Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.
  • Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum, 7: 99—102 Архивная копия от 16 июля 2020 на Wayback Machine
  • Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, JSTOR 2308580
  • Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly, 42: 396
  • Kazarinoff, D. K. (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97—98, doi:10.1307/mmj/1028988998
  • Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly, 44: 252—254