В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел
и
выполняется неравенство:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если
будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных
.
Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда
:
Поскольку неравенство симметрично относительно переменных
, то без ограничения общности можно считать, что
. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:
которое выполняется потому, что
. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при
или
и
. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда
или двое из чисел
равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.
Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных
и неотрицательных действительных
:
если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
и ![{\displaystyle a\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f56ffef28d47e0e9b1889c94bdab0185ca1b85)
и ![{\displaystyle c\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285ac6eb43ffe3a8c673e034f6def34899bb594d)
и ![{\displaystyle a+c\geqslant b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b287d6234be4f6a78da403a41190add1d3a6b0)
и ![{\displaystyle ax\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4974eaa0c5679cb9243325890d43d13fa5e974ae)
и ![{\displaystyle cz\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5afc2ccc3c5b0d0378d3713b6154009d19acd1)
и ![{\displaystyle ax+cz\geqslant by}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be2e159c9ed7d65c992aff0c1195409ac1dd5e6)
- стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
- квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
- стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
- квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
- Существует выпуклая или монотонная функция
, где
- это интервал, который содержит числа
,
,
, причём
,
, ![{\displaystyle c=f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0be0b0a59bfd7c4d8bc65b0e8eb403957cbc34)
Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа
и положительное действительное число
таковы, что
, то[1]: