Неравенство Фробениуса (Uyjgfyuvmfk SjkQyunrvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

В этом неравенстве размерности матриц , и должны позволять существование матрицы (т. е. эти матрицы имеют размерности , и соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

[править | править код]

Если и , то .

Запишем это неравенство для :

Ясно также, что [1].

Второе доказательство

[править | править код]

Рассмотрим блочную матрицу

,

применим к матрице цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

Тогда

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.