Неравенство Минковского (Uyjgfyuvmfk Bnutkfvtkik)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -й степенью.

Формулировка

[править | править код]

Пусть  — пространство с мерой, и функции , то есть , где , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда , и более того:

Доказательство

[править | править код]

Сначала докажем, что

суммируема на .

Введём множества: .






Перейдём к доказательству неравенства Минковского:



можно применить к ним Неравенство Гёльдера:




Таким образом:



Делим левую и правую части на .

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве можно ввести норму:

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

[править | править код]

Евклидово пространство

[править | править код]

Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:

и тогда

Если и , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lp

[править | править код]

Пусть  — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что

называется . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

Вероятностное пространство

[править | править код]

Пусть  — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

Литература

[править | править код]
  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.