Неравенство Гаусса (Uyjgfyuvmfk Igrvvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории вероятностей неравенство Гаусса даёт верхнюю границу вероятности того, что одномодальная случайная величина выходит за пределы интервала с центром в её моде.

Пусть X — одномодальная случайная величина с модой m и пусть τ 2 есть математическое ожидание (Xm)2. (τ2 может также быть выражено как (μm)2 + σ2, где μ и σ являются средним значением и стандартным отклонением X.)

Эта теорема была впервые доказана Гауссом в 1823 году.

Доказательство

[править | править код]

Без ограничения общности можно считать, что мода находится в нуле, то есть .

Переход к квантилям

[править | править код]

Рассмотрим вероятность того, что выполняется неравенство , как функцию от :

Так как является неотрицательной функцией, то растёт с ростом .

Кроме того, по определению определённого интеграла:

В силу формулы Лейбница:

Рассмотрим обратную функцию (квантиль) распределения случайной величины :

В силу теоремы о производной обратной функции:

Заметим, что с ростом возрастает и , в силу унимодальности с ростом по модулю функция не возрастает, значит с ростом функция не убывает.

Линеаризация функции

[править | править код]

Выберем произвольную точку и линеаризуем точке , то есть рассмотрим уравнение касательной прямой к этой функции в данной точке:

Данное уравнение можно переписать следующим образом:

где

Поскольку величины , и являются неотрицательными, то

а значит

Так как не убывает с ростом , а то разность имеет тот же знак, что . Из этого следует, что величина всегда является неотрицательной, а следовательно:

Поскольку то из (то есть из ) следует

.

Получение оценки

[править | править код]

Проинтегрируем последнее неравенство в пределах от до :

Последнее выражение обозначим как :

Данная величина есть математическое ожидание квадрата случайной величины . По свойствам дисперсии:

где — дисперсия случайной величины ,  — её математическое ожидание.

Вычислим теперь интеграл в левой части последнего неравенства:

Преобразуем это неравенство к виду

Исследование верхней границы

[править | править код]

Исследуем верхнюю границу на экстремальные значения (в зависимости от значения ). Начнём с нахождения корней производной:

Множитель перед квадратными скобками всегда отрицателен. Определим, когда выражения в квадратных скобках обращается в нуль:

Решая данное уравнение, получим:

Величина также должно удовлетворять условию  :

Решая данное неравенство, получим:

Правое неравенство не даёт дополнительной информации. Левое же говорит, что корень будет принадлежать только при

Рассмотрим сначала случай .

В этом случае всегда

а следовательно максимум выражения в квадратных скобках достигается при :

или

Если же , то максимум будет в точке Вычислим необходимые нам величины:

и

Подставляя эти выражения в исследуемое неравенство, получим:

или

Объединим полученные неравенства:

Извлекая квадратный корень, окончательно получим:

Обращение неравенств

[править | править код]

Если , то

Откуда получаем

Это позволяет получить следующее неравенство:

Обозначая и , получим:

Завершение доказательства

[править | править код]

Выше мы предполагали, что мода случайной величины равна нулю. В случае произвольной моды , нужно приведённые выше рассуждения применить к случайной величине , мода которой, очевидно, равна нулю. Тогда последняя формула примет вид:

Величина перейдём, по свойствам математического ожидания и дисперсии, в

Таким образом, теорема полностью доказана.

  • Gauss, C. F. Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior (англ.) // Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores : journal. — 1823. — Vol. 5.
  • Gauss C. F. Gauss’s work 1803-1826) on the Theory of Least Squares / English translation by H. F. Trotter. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957. — С. 10—13. Архивировано 24 декабря 2016 года. Архивная копия от 24 декабря 2016 на Wayback Machine
  • Upton, Graham; Cook, Ian. Gauss inequality // A Dictionary of Statistics (англ.). — Oxford University Press, 2008.
  • Sellke, T.M.; Sellke, S.H. Chebyshev inequalities for unimodal distributions (англ.) // American Statistician[англ.] : journal. — American Statistical Association, 1997. — Vol. 51, no. 1. — P. 34—40. — doi:10.2307/2684690. — JSTOR 2684690.
  • Pukelsheim, F. The Three Sigma Rule (англ.) // American Statistician[англ.] : journal. — American Statistical Association, 1994. — Vol. 48, no. 2. — P. 88—91. — doi:10.2307/2684253. — JSTOR 2684253.