Неравенство Гарнака (Uyjgfyuvmfk Igjugtg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Неравенство Гарнака — если функция , гармоническая в -мерном шаре радиуса с центром в некоторой точке , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: , где .

Доказательство

[править | править код]

В силу формулы Пуассона для точек внутри шара имеем . Учитывая неравенства , благодаря условию получим отсюда, что , или, применяя теорему Гаусса . Таким образом, переходя к пределу при , получим неравенство Гарнака .

Литература

[править | править код]
  • Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.