Неравенство Виртингера (Uyjgfyuvmfk Fnjmnuiyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : RR является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

.

Тогда

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

, при каких-то a и b

или, что то же самое,

при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.

Современное состояние проблемы

[править | править код]

Легко увидеть, что неравенство Виртингера связывает нормы в пространстве производной и самой функции:

В такой форме неравенство является одномерным аналогом неравенства Фридрихса.

Ясно, что можно пробовать отыскать аналогичное неравенство при различных (и даже разных) нормах в правой и левой частях неравенства. Эта задача интенсивно исследовалась многими математиками, достаточно сказать, что в одной обзорной статье по неравенству Виртингера была приведено более 200 ссылок на работы различных авторов. Во многих случаях найдены как точные константы, которые надо поставить перед нормой производной, так и экстремальные функции, на которых неравенство обращается в равенство.