Неполная гамма-функция (Uyhklugx igbbg-srutenx)

Неполная гамма-функция — одна из специальных функций, определяющаяся по аналогии с гамма-функцией, но с введением второй вещественной переменной с ограничением ей одного пределов интегрирования:

$\Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$ (верхняя неполная гамма-функция) и

$\gamma (z,x)=\int _{0}^{x}t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$ (нижняя неполная гамма-функция).

от комплексной переменной $z$ и вещественной $x$.

Гамма-функция от одного комплексного аргумента определяется как интеграл от нуля до бесконечности, таким образом, имеется следующая связь с неполными гамма-функциями:

$\Gamma (z)=\Gamma (z,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (z,x)$,

$\gamma (z,x)+\Gamma (z,x)=\Gamma (z)$.

По аналогии с гамма-функцией, имеют место рекуррентные соотношения:

$\Gamma (z+1,x)=z\Gamma (z,x)+x^{z}e^{-x}$,

$\gamma (z+1,x)=z\gamma (z,x)-x^{z}e^{-x}$.