Мультипольное излучение — излучение, обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы. Используется для описания электромагнитного или гравитационного излучения от изменяющегося во времени (нестационарного) распределения удалённых источников. Мультипольное разложение применяется к физическим явлениям, которые происходят на разных масштабах — от гравитационных волн из-за столкновения галактик до гамма-излучения в результате радиоактивного распада [ 1] [ 2] [ 3] мультипольного разложения полей от стационарных источников. Однако есть важные отличия, поскольку поля мультипольного излучения ведут себя несколько иначе полей от стационарных источников. Эта статья в первую очередь касается электромагнитного мультипольного излучения, хотя гравитационные волны рассматриваются аналогично.
Поскольку уравнения Максвелла линейны, электрическое поле и магнитное поле зависят линейно от распределения источников. Линейность позволяет независимо вычислять поля от различных мультипольных моментов и складывать их, чтобы получать общее поле системы. Это хорошо известный принцип суперпозиции .
Мультипольные моменты вычисляются относительно фиксированной точки отсчёта, которая берется за начало данной системы координат. Смещение начала координат изменяет мультипольные моменты системы, за исключением первого отличного от нуля момента.[ 4] [ 5]
Поле от мультипольного момента зависит как от расстояния от начала координат, так и от угловой ориентации рассматриваемой точки относительно системы координат.[ 4] стационарного
2
ℓ
{\displaystyle 2^{\ell }}
1
/
r
ℓ
+
2
{\displaystyle 1/r^{\ell +2}}
[ 2] электрического монополя обратно пропорционально квадрату расстояния. Аналогично электрический дипольный момент создаёт поле, которое обратно пропорционально кубу расстояния, и так далее. По мере увеличения расстояния, вклад моментов высокого порядка становится намного меньше вклада моментов низкого порядка. Поэтому моменты высокого порядка можно опускать для облегчения вычислений.
Радиальная зависимость волн мультипольного излучения отличается от полей стационарного случая, поскольку эти волны уносят энергию из системы. Так как энергия должна сохраняться, простой геометрический анализ показывает, что плотность энергии сферического излучения радиуса
r
{\displaystyle r}
1
/
r
2
{\displaystyle 1/r^{2}}
4
π
r
2
{\displaystyle 4\pi r^{2}}
1
/
r
2
{\displaystyle 1/r^{2}}
1
/
(
2
ℓ
+
1
)
!
!
{\displaystyle 1/(2\ell +1)!!}
[ 5]
Зависящие от времени распределения источников могут быть выражены с помощью анализа Фурье . Это позволяет анализировать различные частоты независимо друг от друга.
Плотность заряда определяется выражением
ρ
(
x
,
t
)
=
∫
−
∞
∞
d
ω
ρ
^
(
x
,
ω
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}
а плотность тока
J
(
x
,
t
)
=
∫
−
∞
∞
d
ω
J
^
(
x
,
ω
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}
[ 6] Для удобства, начиная с этого момента рассматриваем лишь одну угловую частоту
ω
{\displaystyle \omega }
ρ
(
x
,
t
)
=
ρ
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
J
(
x
,
t
)
=
J
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
Принцип суперпозиции может быть применён для обобщения результатов на несколько частот[ 5]
Векторные величины выделяются жирным шрифтом. Используется стандартное соглашение о взятии действительной части комплексного числа для выражения физических величин.
Собственный угловой момент элементарных частиц (см. Спин ) может оказывать влияние на электромагнитное излучение источников. Чтобы учитывать эти эффекты, вводится в рассмотрение внутренняя намагниченность системы
M
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)}
Распределения источников могут быть проинтегрированы для получения зависящих от времени электрического потенциала φ и магнитного потенциала A . Формулы выражены с учётом калибровки Лоренца в единицах СИ [ 5] [ 6]
ϕ
(
x
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
d
3
x
′
∫
d
t
′
ρ
(
x
′
,
t
′
)
‖
x
−
x
′
‖
2
δ
(
t
′
−
(
t
−
‖
x
−
x
′
‖
2
c
)
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}
A
(
x
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
d
3
x
′
∫
d
t
′
J
(
x
′
,
t
′
)
‖
x
−
x
′
‖
2
δ
(
t
′
−
(
t
−
‖
x
−
x
′
‖
2
c
)
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}
В этих формулах c — скорость света в вакууме,
δ
{\displaystyle \delta }
дельта-функция Дирака , а
‖
x
−
x
′
‖
2
{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}
евклидово расстояние от исходной точки источника x′ до рассматриваемой точки x .
Интегрирование зависящих от времени распределений источников даёт
ϕ
(
x
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
e
−
i
ω
t
∫
d
3
x
′
ρ
(
x
′
)
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}
A
(
x
,
t
)
=
μ
0
4
π
e
−
i
ω
t
∫
d
3
x
′
J
(
x
′
)
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}
где k =ω/c . Эти формулы служат основой для анализа мультипольного излучения.
Малые расстояния — это область пространства рядом с источником, в которой электромагнитное поле можно считать квази-стационарным. Если расстояние до рассматриваемой точки от источника
r
=
‖
x
‖
2
{\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}
λ
=
2
π
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
k
r
≪
1
{\displaystyle kr\ll 1}
Ряд Тейлора ):
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
=
1
+
O
(
k
r
)
{\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+O(kr)}
В таком приближении, оставшаяся x ′-зависимость такая же, как для стационарной системы, и применяется тот же анализ[ 4] [ 5] [ 5]
1
/
‖
x
−
x
′
‖
2
{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}
сферических функций , которые независимо интегрируются для получения сферических мультипольных коэффициентов (см. мультипольное разложение ).
[ править | править код ] На больших расстояниях от высокочастотного источника,
λ
≪
r
{\displaystyle \lambda \ll r}
1
‖
x
−
x
′
‖
2
=
1
r
+
O
(
1
/
r
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^{2})}
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
=
e
i
k
(
r
−
n
⋅
x
′
+
O
(
1
/
r
)
)
=
e
i
k
r
−
i
k
n
⋅
x
′
(
1
+
O
(
1
/
r
)
)
{\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} +O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))}
Поскольку на больших расстояниях от источника лишь члены первого порядка
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
=
e
i
k
r
r
(
1
−
i
k
(
n
⋅
x
′
)
+
(
−
i
k
)
2
2
(
n
⋅
x
′
)
2
+
.
.
.
)
+
O
(
1
/
r
2
)
{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})}
Каждая степень
n
⋅
x
′
{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }
Член нулевого порядка,
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
→
e
i
k
r
r
{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}
ϕ
электрический монополь
(
x
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
∫
d
3
x
′
ρ
(
x
′
)
=
e
i
k
r
−
i
ω
t
4
π
ϵ
0
r
q
{\displaystyle \phi _{\text{электрический монополь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \epsilon _{0}r}}q}
где суммарный заряд системы
q
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}
Закон сохранения электрического заряда требует
q
=
0
{\displaystyle q=0}
q
(
t
)
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
x
′
,
t
)
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
x
′
)
e
−
i
ω
t
=
q
e
−
i
ω
t
{\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}}
Если система замкнута, то величина заряда колебаться не может, что означает, что амплитуда колебаний q должна равняться нулю. Следовательно,
ϕ
электрический монополь
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle \phi _{\text{электрический монополь}}(\mathbf {x} ,t)=0}
[ 5]
Излучение электрического диполя может быть получено путём рассмотрения члена нулевого порядка,
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
→
e
i
k
r
r
{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}
[ 5]
A
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
μ
0
4
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
∫
d
3
x
′
J
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}
Интегрирование по частям даёт[ 7]
∫
d
3
x
′
J
(
x
′
)
=
−
∫
d
3
x
′
x
′
(
∇
⋅
J
(
x
′
)
)
{\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}
А уравнение непрерывности заряда показывает
∂
ρ
(
x
,
t
)
∂
t
+
∇
⋅
J
(
x
,
t
)
=
(
−
i
ω
ρ
(
x
)
+
∇
⋅
J
(
x
)
)
e
−
i
ω
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0}
Отсюда следует, что
A
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
−
i
ω
μ
0
4
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
∫
d
3
x
′
x
′
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}
Аналогичные результаты можно получить путём рассмотрения члена первого порядка,
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
→
e
i
k
r
r
(
−
i
k
)
(
n
⋅
x
′
)
{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}
Величина амплитуды электрического дипольного момента системы
d
=
∫
d
3
x
′
x
′
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}
Это позволяет выразить потенциалы как
ϕ
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
−
i
k
4
π
ϵ
0
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
n
⋅
d
{\displaystyle \phi _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d} }
A
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
−
i
ω
μ
0
4
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
d
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d} }
Как только зависящие от времени потенциалы найдены, зависящие от времени электрическое поле и магнитное поле можно рассчитать обычным способом. А именно,
E
(
x
,
t
)
=
−
∇
ϕ
(
x
,
t
)
−
∂
A
(
x
,
t
)
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}
B
(
x
,
t
)
=
∇
×
A
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}
или, в области пространства, свободной от источников, связь между магнитным полем и электрическим полем может быть использована для получения
H
(
x
,
t
)
=
1
μ
0
∇
×
A
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}
E
(
x
,
t
)
=
i
Z
0
k
∇
×
H
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}
где
Z
0
=
μ
0
/
ϵ
0
{\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}}
волновое сопротивление вакуума .
Электрическое и магнитное поля, которые соответствуют потенциалам выше:
H
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
c
k
2
4
π
(
n
×
d
)
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}
E
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
Z
0
(
H
электрический диполь
×
n
)
{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{электрический диполь}}\times \mathbf {n} )}
что соответствует волнам сферического излучения[ 5]
Плотность потока энергии с помощью вектора Пойнтинга
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
телесного угла определяется
d
I
(
x
)
d
Ω
=
r
2
2
ℜ
(
n
⋅
E
×
H
)
{\displaystyle {\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} )}
Скалярное произведение с
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
r
2
{\displaystyle r^{2}}
d
I
электрический диполь
(
x
)
d
Ω
=
c
2
Z
0
32
π
2
k
4
‖
d
‖
2
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\frac {dI_{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }
где θ измеряется относительно
d
{\displaystyle \mathbf {d} }
[ 5]
Интегрирование по сфере даёт полную мощность излучения:
I
электрический диполь
=
c
2
Z
0
12
π
k
4
‖
d
‖
2
2
{\displaystyle I_{\text{электрический диполь}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}}
Член первого порядка,
e
i
k
‖
x
−
x
′
‖
2
‖
x
−
x
′
‖
2
→
e
i
k
r
r
(
−
i
k
)
(
n
⋅
x
′
)
{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}
[ 5]
A
магнитный диполь / электрический квадруполь
(
x
,
t
)
=
μ
0
4
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
(
−
i
k
)
∫
d
3
x
′
(
n
⋅
x
′
)
J
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{магнитный диполь / электрический квадруполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}
Подынтегральное выражение может быть разделено на симметричную и антисимметричную части по n and x ′
(
n
⋅
x
′
)
J
(
x
′
)
=
1
2
(
(
n
⋅
x
′
)
J
(
x
′
)
+
(
n
⋅
J
(
x
′
)
)
x
′
)
+
1
2
(
x
′
×
J
(
x
′
)
)
×
n
{\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }
Второй член содержит эффективную намагниченность, обусловленную током
M
эффективная
(
x
′
)
=
1
/
2
(
x
′
×
J
(
x
′
)
)
{\displaystyle \mathbf {M} _{\text{эффективная}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}
m
=
∫
d
3
x
′
M
эффективная
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{эффективная}}(\mathbf {x'} )}
A
магнитный диполь
(
x
,
t
)
=
−
i
k
μ
0
4
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
m
×
n
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{магнитный диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }
Заметим, что
A
магнитный диполь
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{магнитный диполь}}}
H
электрический диполь
{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{электрический диполь}}}
Выполняя преобразования
E
электрический диполь
→
Z
0
H
магнитный диполь
{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{электрический диполь}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{магнитный диполь}}}
H
электрический диполь
→
−
1
Z
0
E
магнитный диполь
{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{электрический диполь}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{магнитный диполь}}}
d
→
m
/
c
{\displaystyle \mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c}
в предыдущих выкладках даёт результаты для магнитного диполя[ 5]
E
магнитный диполь
(
x
,
t
)
=
−
k
2
Z
0
4
π
(
n
×
m
)
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{магнитный диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}
H
магнитный диполь
(
x
,
t
)
=
−
1
Z
0
(
E
магнитный диполь
×
n
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{магнитный диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{магнитный диполь}}\times \mathbf {n} )}
[ 5] Усреднённая по времени плотность потока энергии излучения магнитного диполя на единицу телесного угла определяется
d
I
магнитный диполь
(
x
)
d
Ω
=
Z
0
32
π
2
k
4
‖
m
‖
2
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\frac {dI_{\text{магнитный диполь}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }
где θ измеряется относительного магнитного диполя
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
Полная мощность излучения[ 5]
I
магнитный диполь
=
Z
0
12
π
k
4
‖
m
‖
2
2
{\displaystyle I_{\text{магнитный диполь}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}
Основная статья:
Квадруполь Симметричная часть подынтегрального выражения из предыдущего раздела может быть проинтегрирона с помощью применения интегрирования по частям и уравнения непрерывности заряда, как это уже было сделано для излучения электрического диполя.
1
2
∫
d
3
x
(
(
n
⋅
x
′
)
J
(
x
′
)
+
(
n
⋅
J
(
x
′
)
)
x
′
)
=
−
i
ω
2
∫
d
3
x
′
x
′
(
n
⋅
x
′
)
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}
A
электрический квадруполь
(
x
,
t
)
=
−
k
ω
μ
0
8
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
∫
d
3
x
′
x
′
(
n
⋅
x
′
)
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{электрический квадруполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}
Введём бесследный тензор электрического квадрупольного момента
D
α
β
=
∫
d
3
x
′
(
3
x
α
′
x
β
′
−
‖
x
′
‖
2
2
δ
α
β
)
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|_{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}
[
D
(
n
)
]
α
=
∑
β
D
α
β
n
β
{\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta }}
[ 5]
A
электрический диполь
(
x
,
t
)
=
−
k
ω
μ
0
8
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
1
3
D
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{электрический диполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)} }
Результирующие магнитное и электрическое поля[ 5]
H
электрический квадруполь
(
x
,
t
)
=
−
i
c
k
3
24
π
e
i
k
r
−
i
ω
t
r
n
×
D
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{электрический квадруполь}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} }
E
электрический квадруполь
(
x
,
t
)
=
Z
0
(
H
электрический квадруполь
×
n
)
{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{электрический квадруполь}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{электрический квадруполь}}\times \mathbf {n} )}
Усреднённая по времени плотность потока энергии излучения электрического квадруполя на единицу телесного угла определяется
d
I
электрический квадруполь
(
x
)
d
Ω
=
c
2
Z
0
1152
π
2
k
6
‖
(
n
×
D
(
n
)
)
×
n
‖
2
2
{\displaystyle {\frac {dI_{\text{электрический квадруполь}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}}
Полная мощность излучения[ 5]
I
электрический квадруполь
=
c
2
Z
0
1440
π
k
6
∑
α
,
β
D
α
β
2
{\displaystyle I_{\text{электрический квадруполь}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{\alpha \beta }^{2}}
По мере увеличения мультипольного момента системы распределённых зарядов прямые вычисления, применямые до сих пор, становятся слишком громоздкими. Анализ высших моментов требует более общего теоретического подхода. Как и раньше, рассматриваем лишь одну частоту
ω
{\displaystyle \omega }
ρ
(
x
,
t
)
=
ρ
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
J
(
x
,
t
)
=
J
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
M
(
x
,
t
)
=
M
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
соответственно.
Результирующие электрическое и магнитное поля разделяют ту же временную зависимость, как и источники
E
(
x
,
t
)
=
E
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
H
(
x
,
t
)
=
H
(
x
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
Использование этих определений и уравнений непрерывности позволяет записать уравнения Максвелла в виде:
∇
⋅
E
(
x
)
=
−
i
Z
0
k
∇
⋅
J
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}
∇
⋅
H
(
x
)
=
−
∇
⋅
M
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}
∇
×
E
(
x
)
=
i
k
Z
0
(
H
(
x
)
+
M
(
x
)
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}
∇
×
H
(
x
)
=
−
i
k
Z
0
E
(
x
)
+
J
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}
Эти уравнения можно объединить, применив ротор к последним уравнениям и применив тождество
∇
×
(
∇
×
V
)
=
∇
(
∇
⋅
V
)
−
∇
2
V
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V} }
уравнения Гельмгольца :
(
∇
2
+
k
2
)
E
(
x
)
=
−
[
i
k
Z
0
J
(
x
)
+
i
k
Z
0
∇
×
M
(
x
)
+
i
Z
0
k
∇
(
∇
⋅
J
(
x
)
)
]
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}
(
∇
2
+
k
2
)
H
(
x
)
=
−
[
k
2
M
(
x
)
+
∇
×
J
(
x
)
+
∇
(
∇
⋅
M
(
x
)
)
]
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}
Однородные волновые уравнения, которые описывают электромагнитное излучение с частотой
ω
{\displaystyle \omega }
(
∇
2
+
k
2
)
Ψ
(
x
)
=
0
{\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0}
Волновую функцию
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )}
векторных сферических гармоник
Ψ
(
x
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
f
ℓ
m
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}
f
ℓ
m
(
k
r
)
=
A
ℓ
m
(
1
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
+
A
ℓ
m
(
2
)
h
ℓ
(
2
)
(
k
r
)
{\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}
где
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
=
L
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
/
ℓ
(
ℓ
+
1
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}
h
ℓ
(
1
)
{\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}
h
ℓ
(
2
)
{\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}
Функции Бесселя ). Дифференциальный оператор
L
=
−
i
x
×
∇
{\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } }
L
2
Y
ℓ
m
=
ℓ
(
ℓ
+
1
)
Y
ℓ
m
{\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}
A
ℓ
m
(
1
)
{\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}
A
ℓ
m
(
2
)
{\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}
A
ℓ
m
(
2
)
=
0
{\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}
функция Грина . Если уравнение источника
(
∇
2
+
k
2
)
Ψ
(
x
)
=
−
V
(
x
)
{\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}
тогда решение:
Ψ
α
(
x
)
=
∑
β
∫
d
3
x
′
G
α
β
(
x
,
x
′
)
V
β
(
x
′
)
{\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}
Функция Грина может быть выражена через векторные сферические гармоники:
G
α
β
(
x
,
x
′
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
i
k
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
j
ℓ
(
k
r
′
)
X
ℓ
m
α
(
θ
,
ϕ
)
X
ℓ
m
β
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}
Заметим, что
X
ℓ
m
∗
=
Y
ℓ
m
∗
L
/
ℓ
(
ℓ
+
1
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}
V
{\displaystyle \mathbf {V} }
Таким образом, решение волнового уравнения:
Ψ
(
x
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
i
k
ℓ
(
ℓ
+
1
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
L
′
⋅
V
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}
Применяя решение, полученное выше, к электрическому мультипольному волновому уравнению
(
∇
2
+
k
2
)
H
(
x
)
=
−
[
k
2
M
(
x
)
+
∇
×
J
(
x
)
+
∇
(
∇
⋅
M
(
x
)
)
]
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}
получаем решение для магнитного поля[ 5]
H
(
E
)
(
x
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
a
ℓ
m
(
E
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}
a
ℓ
m
(
E
)
=
i
k
ℓ
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
L
′
⋅
[
k
2
M
(
x
′
)
+
∇
′
×
J
(
x
′
)
+
∇
′
(
∇
′
⋅
M
(
x
′
)
)
]
{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}
Электрическое поле:
E
(
E
)
(
x
)
=
i
Z
0
k
∇
×
H
(
E
)
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}
Формула может быть упрощена, применяя тождества
L
⋅
V
(
x
)
=
i
∇
⋅
(
x
×
V
(
x
)
)
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}
L
⋅
(
∇
×
V
(
x
)
)
=
i
∇
2
(
x
⋅
V
(
x
)
)
−
i
∂
r
∂
r
(
r
2
∇
⋅
V
(
x
)
)
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}
L
⋅
∇
s
(
x
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0}
к подынтегральному выражению, что даёт[ 5]
a
ℓ
m
(
E
)
=
−
i
k
2
ℓ
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
[
−
i
k
∇
⋅
(
x
′
×
M
(
x
′
)
)
−
i
k
∇
2
(
x
′
⋅
J
(
x
′
)
)
−
c
∂
r
′
∂
r
′
(
r
′
2
ρ
(
x
′
)
)
]
{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}
Теорема Грина and интегрирование по частям приводят формулу к
a
ℓ
m
(
E
)
=
−
i
k
2
ℓ
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
[
−
i
k
∇
⋅
(
x
′
×
M
(
x
′
)
)
+
i
k
x
′
⋅
J
(
x
′
)
]
+
c
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
ρ
(
x
′
)
∂
∂
r
′
(
r
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
)
{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}
сферическая функция Бесселя
j
ℓ
(
k
r
′
)
{\displaystyle j_{\ell }(kr')}
j
ℓ
(
k
r
′
)
=
(
k
r
′
)
ℓ
(
2
ℓ
+
1
)
!
!
+
O
(
(
k
r
′
)
ℓ
+
2
)
{\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})}
Отбрасывая все члены, кроме членов самых малых порядков, получаем упрощённую форму электрических мультипольных коэффициентов[ 5]
a
ℓ
m
(
E
)
=
−
i
c
k
ℓ
+
2
(
2
ℓ
+
1
)
!
!
(
ℓ
+
1
ℓ
)
1
/
2
[
Q
ℓ
m
+
Q
ℓ
m
′
]
{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}
Q
ℓ
m
=
∫
d
3
x
′
r
′
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
ρ
(
x
′
)
{\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}
Q
ℓ
m
′
=
−
i
k
c
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
r
′
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
∇
⋅
(
x
′
×
M
(
x
′
)
)
{\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}
Q
ℓ
m
{\displaystyle Q_{\ell m}}
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}
Q
ℓ
m
′
{\displaystyle Q_{\ell m}'}
Применяя решение, полученное выше, к магнитному мультипольному волновому уравнению
(
∇
2
+
k
2
)
E
(
x
)
=
−
[
i
k
Z
0
J
(
x
)
+
i
k
Z
0
∇
×
M
(
x
)
)
+
i
Z
0
k
∇
(
∇
⋅
J
(
x
)
)
]
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}
получаем решение для электрического поля[ 5]
E
(
M
)
(
x
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
a
ℓ
m
(
M
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}
a
ℓ
m
(
M
)
=
i
k
ℓ
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
L
′
⋅
[
i
k
Z
0
J
(
x
)
+
i
k
Z
0
∇
×
M
(
x
)
)
+
i
Z
0
k
∇
(
∇
⋅
J
(
x
)
)
]
{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}
Магнитное поле:
H
(
M
)
(
x
)
=
−
i
k
Z
0
∇
×
E
(
M
)
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}
Как и ранее, формула упрощается:
a
ℓ
m
(
M
)
=
−
i
k
2
ℓ
(
ℓ
+
1
)
∫
d
3
x
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
[
∇
⋅
(
x
′
×
J
(
x
′
)
)
−
k
2
x
′
⋅
M
(
x
′
)
]
+
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
∇
⋅
M
(
x
′
)
∂
∂
r
′
(
r
′
j
ℓ
(
k
r
′
)
)
{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}
Отбрасывая все члены, кроме членов самых малых порядков, получаем упрощённую форму магнитных мультипольных коэффициентов[ 5]
a
ℓ
m
(
M
)
=
−
i
k
ℓ
+
2
(
2
ℓ
+
1
)
!
!
(
ℓ
+
1
ℓ
)
1
/
2
[
M
ℓ
m
+
M
ℓ
m
′
]
{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}
M
ℓ
m
=
1
ℓ
+
1
∫
d
3
x
′
r
′
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
∇
⋅
(
x
′
×
J
(
x
′
)
)
{\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}
M
ℓ
m
′
=
∫
d
3
x
′
r
′
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
∇
⋅
M
(
x
′
)
{\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}
M
ℓ
m
{\displaystyle M_{\ell m}}
x
×
J
(
x
)
/
2
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2}
M
ℓ
m
′
{\displaystyle M_{\ell m}'}
M
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )}
Электрическое и магнитное поля совмещаются, чтобы дать итоговые поля[ 5]
E
(
x
,
t
)
=
ℜ
(
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
[
a
ℓ
m
(
M
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
+
i
Z
0
k
a
ℓ
m
(
E
)
∇
×
(
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
)
]
e
−
i
ω
t
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}
H
(
x
,
t
)
=
ℜ
(
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
[
a
ℓ
m
(
E
)
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
−
i
k
Z
0
a
ℓ
m
(
M
)
∇
×
(
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
X
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
)
]
e
−
i
ω
t
)
{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}
Заметим, что радиальная функция
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
{\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)}
1
/
r
≪
1
{\displaystyle 1/r\ll 1}
h
ℓ
(
1
)
(
k
r
)
=
(
−
i
)
ℓ
+
1
e
i
k
r
k
r
+
O
(
1
/
r
2
)
{\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^{2})}
Таким образом, радиальная зависимость излучения восстановлена.
↑ Hartle, James B. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .↑ 1 2 Rose, M. E. Multipole Fields . — John Wiley & Sons , 1955.Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine ↑ Blatt, John M. Theoretical Nuclear Physics - Seventh Printing / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. — John Wiley & Sons , 1963. — ISBN 0-471-30932-X .Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine ↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Multipole Theory in Electromagnetism / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. — Oxford University Press , 2004. — ISBN 978-0-19-856727-1 .Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Classical Electrodynamics - Third Edition . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .↑ 1 2 Hafner, Christian. The Generalized Multipole Technique for Computational Electromagnetics . — Artech House , 1990. — ISBN 0-89006-429-6 .Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine ↑ Robert G. Brown. Vector Calculus: Integration by Parts (неопр.) . Classical Electrodynamics: Part II (28 декабря 2007). Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 4 марта 2016 года.
Ссылки на внешние ресурсы
![{\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384679070dbc5d3dade4872086d9d32d60e10210)
![{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797e8b5d5a34958bd5113def5645b0836a9fd6da)
![{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b5afe927475d5427b3f3f3fc286bf5c065a19a)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072570a750c9273491860f05d70f1f5910569134)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223017b73385bd5cd56df8e4cc9ea5fa86286b17)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59f42a8d82613a5962374fd696b28327747788f)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb0d33262fc8a8755d8be4324b064eccdfcea92)
![{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcc631ca993b7a3d23d33802fc09c86f3868d37)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a2b531fe5ead43f2045bd7d8021a31bd79a9c7)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77237f966300a1d9fef5cb18f45d13b6e80d53fe)
![{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518c7e76ab207a925394e2db86d7044e1d0ca13a)
![{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e3d2e7f6d402df74fabcc458eedeb1b3f264f3)
![{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7751f6f1dbbbe03dfa092f8077b7e3a0b2f2ef8)
