Модель Крамера — Лундберга (Bk;yl, Tjgbyjg — Lru;Qyjig)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в которой процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью условных денежных единиц за единицу времени, то есть  — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.

Обозначения

[править | править код]

Модель страхования заключается в описании случайного процесса , характеризующего капитал компании в момент времени .

Модель выглядит так:

где
 — капитал компании в момент времени ,
 — стартовый капитал, ,
– скорость поступления страховых взносов,
 — количество страховых исков от начала до момента времени ,
— сумма выплат по -му страховому случаю, выплата происходит в момент времени .

Cлучайный процесс разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности . В таком случае модель называется моделью Крамера — Лундберга[1]. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени , будем рассматривать процесс восстановления:

– независимые случайные величины, имеющие распределение (промежутки времени между страховыми случаями),
,
.

Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание обосновано.

Компания считается разорившейся, если . Пусть — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: .

Математические выкладки

[править | править код]

1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени :

.

2. Предположим что размер выплат  — независимые одинаково распределенные случайные величины с [2].

Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания (в среднем) работает с положительной прибылью (то есть ), когда

.

Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли (в среднем) страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.

Выводы модели

[править | править код]

С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска . В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Ширяев А. Н. Вероятность-2. — М.: МЦНМО, 2011. — 416 с.
  • Муромская А. А. Оценка вероятности разорения акционерной страховой компании в рамках модели риска Спарре-Андерсена. — М.: МГУ им. Ломоносова.