Множественный коэффициент корреляции (Buk'yvmfyuudw tkzssnenyum tkjjylxenn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Множественный коэффициент корреляции - Характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ12,...,ξk) - случайный вектор из Rk, тогда коэффициент множественной корреляции между ξ1 и ξ2,...,ξk численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ1 и её наилучшей линейной аппроксимацией по переменным ξ2...,ξk, которая представляет собой линейную регрессию ξ1 на ξ2,...,ξk.

Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии

когда - это регрессия ξ1 на ξ2,...,ξk,

среди всех линейных комбинаций переменных ξ2,...,ξk переменная ξ1 будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ1*, совпадающий с . В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем канонического коэффициента корреляции. При k = 2 множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции ρ12 между ξ1 и ξ2.

Вычисление

[править | править код]

Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы по формуле

,

где - это определитель корреляционной матрицы, а - это алгебраическое дополнение элемента ρ11 = 1; здесь . Если , тогда с вероятностью 1 значения ξ1 совпадают с линейной комбинацией ξ2,...,ξk, следовательно, совместное распределение ξ12,...,ξk лежит на гиперплоскости в пространстве Rk. С другой стороны, при все парные коэффициенты корреляции ρ12 = ρ13 = ... = ρ1k = 0 равны нулю, следовательно, значения ξ1 не коррелируют с величинами ξ2,...,ξk. Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле

,

где - это дисперсия ξ1, а - дисперсия ξ1 относительно регрессии.

Выборочный множественный коэффициент корреляции

[править | править код]

Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина , где и - это оценки для и , полученные по выборке объема n. Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики . При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения, величина будет обладать бета-распределением с параметрами , если . Для случая тип распределения известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.

Литература

[править | править код]
  • Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
  • Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.