Метрика Титса (Bymjntg Mnmvg)
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара. Названа в честь Жака Титса.
Построение
[править | править код]Пусть — пространство Адамара. Обозначим через его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки .
Для двух лучей и из определяется угол как предел угла сравнения в треугольнике при , то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у при вершине соответствующей .
Угол определяет так называемую угловую метрику на , со значениями в интервале .
Внутренняя метрика ассоциированная с называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале .
Замечания
[править | править код]- Метрика Титса совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше
- Метрика не зависит от выбора точки .
- Абсолют можно также определить как фактор пространства всех лучей в по параллельности, то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как если расстояния ограничены при всех значениях .
Примеры
[править | править код]- Для евклидова пространства, аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
- Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно .
Свойства
[править | править код]- Абсолют с метрикой Титса является CAT(1) пространством[англ.].
- Абсолют произваедения двух пространств Адамара с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов с метриками Титса.