Метод схемных определителей (Bymk; v]ybud] khjy;ylnmylyw)

Метод схемных определителей — это символьный метод анализа электрических цепей, в котором для расчёта искомых токов и напряжений используется непосредственно схема замещения цепи с произвольными линейными элементами, минуя составление уравнений равновесия. Метод предназначен для получения оптимальных по сложности символьных выражений схемных функций, откликов, погрешностей преобразования и допусков элементов, а также параметров макромоделей подсхем и параметров неизвестных элементов в линейных электрических цепях.

Формулы выделения параметров

В основе метода схемных определителей лежат формулы Фойснера для выделения параметров двухполюсных элементов, которые могут быть представлены в схемно-алгебраической форме:

В общем случае произвольный параметр может быть выделен с помощью следующего выражения:

$\Delta =\chi \Delta (\chi \rightarrow \infty )+\Delta (\chi =0)\qquad ,(3)$

где χ є (R, g, K, G, H, B); Δ(χ→∞) — определитель первой производной схемы, полученной из исходной схемы в результате присвоения параметру χ значения, стремящегося к бесконечности (сопротивление удаляется, проводимость заменяется на схеме идеальным проводником (стягивается), управляемые источники заменяются на нуллоры); Δ(χ=0) — определитель второй производной схемы, которая образована в результате нейтрализации выделяемого элемента, то есть принятия χ=0 (сопротивление стягивается, проводимость удаляется, управляемые источники нейтрализуется). В качестве определителей будем рассматривать символьные определители, то есть аналитические выражения, в которых все параметры схемы представлены символами, а не числами. Нуллором называют схемную модель идеального усилителя Теллегена, то есть управляемый источник, параметр которого стремится к бесконечности. Нуллор является аномальным управляемым источником, поскольку ток и напряжение норатора (управляемой ветви нуллора) не определены, а ток и напряжение нуллатора (управляющей ветви нуллора) равны нулю. При замещении управляемого источника его управляемая и управляющая ветвь заменяются на норатор и нуллатор соответственно. При нейтрализации управляемая ветвь напряжения и ветвь управляющего тока стягиваются, а управляемая ветвь тока и ветвь управляющего напряжения удаляются. Идеальный проводник и разомкнутая ветвь являются частными случаями включения нуллора. Идеальный проводник эквивалентен однонаправленному параллельному соединению норатора и нуллатора, а разомкнутая ветвь — их встречному последовательному соединению. При изменении направления норатора или нуллатора знак определителя схемы, содержащей эти элементы, изменяется на противоположный. Если конденсаторы задать в операторном виде ёмкостными проводимостями рС, а индуктивности — индуктивными сопротивлениями pL, то результатом разложения символьного определителя схемы по формулам (1)-(3) становится выражение, не содержащее дробей, что делает его простым и удобным в рассмотрении. Схемные элементы по формуле (3) выделяются рекурсивно до тех пор, пока не будет получена простейшая схема, определитель которой выводится из закона Ома (например, разомкнутые сопротивление или проводимость (рис. 1,а и б), замкнутые на себя сопротивление или проводимость (рис. 1,в и г), два несоединенных узла (рис. 1,д), одиночный узел (рис. 1,е), контур с нуллором (рис. 1,ж), разомкнутая ветвь с норатором и нуллатором (рис. 1,з), контур с УИ (рис. 1,и-м)).

Рис. 1. Простейшие схемы и их определители

К описанному базису простейших схем целесообразно также добавить схемы на рис. 1,н и рис. 1,о, состоящие из двух контуров с ИНУН или ИТУТ соответственно, так как нейтрализация одного из УИ приводит к получению схемы-узла. Аналогичным свойством обладают обобщения этих схем, которые состоят из m контуров с УИ (m>2) и имеют определители Δ=K₁ • K₂ • … • K_m+1 и Δ=B₁ • B₂ • … • B_m+1 соответственно.

Вырождение схем

В системном определителе (матрице) схемы возможно появление строк, которые состоят из элементов, равных нулю. Соответствующая этому определителю схема называется вырожденной. Таким образом, определитель вырожденной схемы тождественно равен нулю. С физической точки зрения принимается, что вырожденной является схема, в которой развиваются бесконечно большие токи и напряжения или значения токов и напряжений оказываются неопределёнными. Так, внутренние сопротивления управляемой ветви напряжения и ветви управляющего тока равны нулю, поэтому в контуре, содержащем только управляемые ветви напряжения и ветви управляющих токов, создаётся бесконечно большой ток. С другой стороны, внутренние проводимости управляемой ветви тока и ветви управляющего напряжения равны нулю, поэтому на элементах сечения, образованного только управляемыми ветвями тока и ветвями управляющих напряжений, появляются бесконечно большие значения напряжений. Метод схемных определителей предоставляет возможность устанавливать вырожденность схемы непосредственно по её структуре и составу элементов во избежание излишних выкладок. Ниже приведены условия вырождения схемы и нейтрализации элементов при замыкании и размыкании ветвей (табл. 1) и в контурах и сечениях (табл. 2).

Табл. 1. Условия вырождения схемы и нейтрализации элементов при замыкании и размыкании ветвей

Элемент схемы	Петля	Разомкнутая ветвь
Сопротивление	Выделение	Нейтрализация
Проводимость	Нейтрализация	Выделение
Управляемая ветвь напряжения	Вырождение	Нейтрализация
Ветвь управляющего тока	Вырождение	Нейтрализация
Управляемая ветвь тока	Нейтрализация	Вырождение
Ветвь управляющего напряжения	Нейтрализация	Вырождение
Норатор	Вырождение	Вырождение
Нуллатор	Вырождение	Вырождение

Табл. 2. Следствия нахождения элементов схемы в контурах и сечениях

Элемент схемы	Инцидентность элемента
	контуру		сечению
	из управляемой ветви напряжения или норатора	из ветви управляющего тока или нуллатора	из управляемой ветви тока или норатора	из ветви управляющего напряжения или нуллатора
Сопротивление	−		Стягивание
Проводимость	Удаление		−
Управляемая ветвь напряжения	Вырождение	−	Стягивание	−
Ветвь управляющего тока	−	Вырождение	−	Стягивание
Управляемая ветвь тока	Удаление	−	Вырождение	−
Ветвь управляющего напряжения	−	Удаление	−	Вырождение
Норатор	−	Вырождение	−	Вырождение
Нуллатор	Вырождение	−	Вырождение	−

Схемно-алгебраические формулы

Любая схемная функция электрической цепи может рассматриваться как отношение N/D. Числитель N здесь является определителем схемы, в которой независимый источник и ветвь искомого отклика замещаются нуллором, а знаменатель D — определителем схемы с нейтрализованными входом и выходом. На рис. 2 эти правила проиллюстрированы схемно-алгебраическими формулами для шести известных схемных функций: коэффициента передачи по напряжению (рис. 2,а), передаточного сопротивления (рис. 2,б), передаточной проводимости (рис. 2,в), коэффициента передачи по току (рис. 2,г), входных проводимости (рис. 2,д) и сопротивления (рис. 2,е) соответственно.

Рис. 2. Схемно-алгебраические формулы символьных схемных функций

При наличии в цепи нескольких независимых источников для применения аппарата схемных определителей следует использовать метод наложения.

Правило смены знаков в схемах с НУИ

В схемах, содержащих более одного направленного нуллора, они должны быть пронумерованы таким образом, чтобы нораторы и нуллаторы, относящиеся к одному нуллору, имели одинаковые номера:

При формулировке данного правила ориентация нораторов и нуллаторов не меняется (то есть они направлены вверх).

Приложения метода схемных определителей

Метод схемных определителей используется для решения различных задач теории цепей:

• символьного анализа линейных и нелинейных схем;
• диакоптики;
• диагностики;
• структурного синтеза;
• допускового анализа;
• аналитического решения линейных алгебраических уравнений.

См. также

• Фойснер, Фридрих Вильгельм
• Symbolic Circuit Analysis Diagnostics and Synthesis (SCADS)