Метод регуляризации Тихонова (Bymk; jyirlxjn[genn Mn]kukfg)

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $Ax=u$ . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году^[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $Ax=u$ в виде $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$ , где $R(u_{\delta },\alpha )$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $u_{\delta }$ к точному значению $u_{T}$ при $\delta \to 0$ приближённое решение $x_{\delta }$ стремилось бы к желаемому точному решению $x_{T}$ уравнения $Ax_{T}=u_{T}$ ^[2].

Регуляризирующий оператор

Оператор $R(u,\alpha )$ , зависящий от параметра $\alpha$ , называется регуляризующим для уравнения $Ax=u$ , если он обладает свойствами:

Определён для всякого $\alpha >0$ и любого $u\in U$ .
Если выполняется $Ax_{T}=u_{T}$ , то существует такое $\alpha (\delta )$ , что для любого $\varepsilon >0$ найдётся такое $\delta (\varepsilon )$ , что если $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$ , то $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ , где $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ , $\alpha =\alpha (\delta )$ , $\rho _{U}$ — метрика в пространстве $U$ (то есть $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ — расстояние между векторами $u_{T}$ и $u_{\delta }$ ), а $\rho _{F}$ — метрика в пространстве $X$ .

Способ построения регуляризирующих операторов

Для широкого класса уравнений $Ax=u$ А. Н. Тихонов показал, что решение задачи $x_{\alpha }$ минимизации функционала $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })^{2}+\alpha \Omega \left[x\right]$ можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра $\alpha$ $x_{\alpha }=R_{1}(u_{\delta },\alpha )$ . Функционал $\Omega \left[x\right]$ называется стабилизатором задачи $Ax=u$ .

Пример применения

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение $X$ системы линейных уравнений $AX=B$ с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы $A$ и столбца $B$ в случае, когда значения элементов матрицы $A$ и столбца свободных членов $B$ заданы лишь приближённо.

Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: $AX=B$ . Назовем сферическими нормами величины $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}}}$ . Обозначим как ${\tilde {A}},{\tilde {B}}$ известные приближённые значения элементов матрицы $A$ и столбца $B$ . Матрицу ${\tilde {A}}$ и столбец ${\tilde {B}}$ будем называть $\delta$ -приближением матрицы $A$ и столбца $B$ , если выполняются неравенства $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ . Введём в рассмотрение функционал $F(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}})=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\alpha \|X\|^{2}$ . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений $AX=B$ к отысканию того элемента $X^{\alpha }$ , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова

Пусть матрица $A$ и столбец $B$ удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы $AX=B$ , $X^{0}$ — нормальное решение этой системы, ${\tilde {A}}$ — $\delta$ -приближение матрицы $A$ , ${\tilde {B}}$ — $\delta$ -приближение столбца $B$ , $\varepsilon \left(\delta \right)$ и $\alpha \left(\delta \right)$ — какие-либо убывающие функции $\delta$ , стремящиеся к нулю при $\delta \rightarrow +0$ и такие, что $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ . Тогда для любого $\varepsilon >0$ найдётся положительное число $\delta _{0}$ такое, что при любом $\delta <\delta _{0}$ и при любом $\alpha$ , удовлетворяющем условию ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)}}\delta ^{2}\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ , элемент $X^{\alpha }$ , доставляющий минимум функционалу $F\left(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|}^{2}+\alpha {\|X\|}^{2}$ , удовлетворяет неравенству $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$ ^[3]^[4].