Метод обратной задачи рассеяния (Bymk; kQjgmukw [g;gcn jgvvyxunx)

Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.

Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеяния^[1]. При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.

В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением Лакса^[2].

Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).

История

Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ)^[3]. Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны. Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн)^[4]. Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.

Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм^[5]. Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы.

В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера^[6]. Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона^[7]. Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи^[8].

В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды, изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравнений^[9]^[10].

Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза

Связь с оператором Штурма — Лиувилля

Уравнение Кортевега — де Фриза

u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0

является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:

{\begin{cases}(L-k^{2})\psi =0,\\\psi _{t}+A\psi =0,\end{cases}}

где

L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x,t)

— оператор Штурма — Лиувилля,

A=4{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}-3\left(u{\frac {d}{dx}}+{\frac {d}{dx}}u\right),

и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:

L_{t}=[L,A]=LA-AL.

^[2]^[11]

Прямая задача рассеяния

Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)

L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x),\quad -\infty <x<\infty

с потенциалом $u(x)$ , достаточно быстро убывающим при $x\to \pm \infty$ , состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось $k^{2}>0$ , и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений $-p_{n}^{2},\,n=1,2,\dots ,N$ . Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения $L\psi =k^{2}\psi$ , определяемое асимптотическими граничными условиями

\psi (x,k)\sim T(k)e^{-ikx},\quad x\to -\infty ,

\psi (x,k)\sim e^{-ikx}+R(k)e^{ikx},\quad x\to +\infty .

Данные условия однозначно определяют решение $\psi (x,k)$ , а также коэффициенты прохождения $T(k)$ и отражения $R(k)$ . Собственным значениям $-p_{n}^{2}$ отвечают собственные функции $f_{n}(x)$ и нормировочные константы

\rho _{n}=\left[\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{n}^{2}(x)\,dx\right]^{-1}.

Данными рассеяния оператора $L$ называется набор величин:

J=\left\{R(k),\,-\infty <k<+\infty ;\,p_{n},\rho _{n},\,n=1,2,\dots ,N\right\}.

Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу $u$ ^[12].

Обратная задача рассеяния

Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора $L$ (а именно, его потенциала $u$ ) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко:

K(x,y)+M(x+y)+\int \limits _{x}^{\infty }K(x,z)M(z+y)\,dz=0,\quad y>x.

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции $K(x,y)$ (при каждом фиксированном $x$ ). Оно связывает функцию $M(x)$ , которая строится по данным рассеяния:

M(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(k)e^{ikx}\,dk+\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}e^{-p_{n}x}

с функцией $K(x,y)$ , по которой можно найти потенциал:

u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).

^[13]

Эволюция данных рассеяния

Если функция $u(x,t)$ меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид

R(k,t)=R(k,0)e^{8ik^{3}t},\quad p_{n}(t)=p_{n}(0),\quad \rho _{n}(t)=\rho _{n}(0)e^{8p_{n}^{3}t}.

Верно и обратное^[14].

Схема метода

Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:

Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию $u(x,0)$ найти данные рассеяния $J(0)$ .
По $J(0)$ найти $J(t)$ , используя формулы для эволюции данных рассеяния.
Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния $J(t)$ восстановить функцию $u(x,t)$ — искомое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задач^[14].

Солитоны

Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения $R(k)$ тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид

u(x)=-2{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln \det A(x),

где $A(x)$ — $N\times N$ матрица с элементами

A_{nm}=\delta _{nm}+{\frac {\rho _{n}}{p_{n}+p_{m}}}e^{-(p_{n}+p_{m})x}

(здесь $\delta _{nm}$ — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой

\rho _{n}\,\to \,\rho _{n}e^{8p_{n}^{3}t}

в определении матрицы $A$ . Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем $p_{1}=\varkappa$ называется солитоном и имеет вид

u(x,t)=-{\frac {2\varkappa ^{2}}{\operatorname {ch} ^{2}\varkappa (x-4\varkappa ^{2}t-\varphi )}},

где введено обозначение

\varphi ={\frac {1}{2\varkappa }}\ln {\frac {\rho _{1}}{2\varkappa }}.

^[15]

Интегрируемые уравнения

См. также

Теория интегрируемых систем

Примечания

↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 20.
↑ ¹ ² Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод, 1992.
↑ Gardner C. S.; Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation (англ.) // Physical review letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095–1097.
↑ Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1965. — Vol. 15. — P. 240-243.
↑ Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves (англ.) // Comm. Pure Appl. Math.. — 1968. — Vol. 21. — P. 467-490.
↑ Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 118-134.
↑ Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sin-Gordon equation (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 30. — P. 1262-1264.
↑ Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems (англ.) // Stud. Appl. Math.. — 1974. — Vol. 53. — P. 249-315.
↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Предисловие.
↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи, 1987, п. 1.1.
↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 34.
↑ Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 26-28.
↑ Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 28.
↑ ¹ ² Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 36.
↑ Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Глава I, §3.

Литература

Абловиц М., Сигур Х. . Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1987. — 479 с.
Бутерин С. А., Игнатьев М. Ю., Кабанов С. Н., Курышова Ю. В., Лукомский Д. С., Поликарпов С. И. . Метод обратной задачи в теории нелинейных волн. — Саратов: Саратовский гос. ун-т, 2013. — 115 с.
Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — С. 365−366. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. . Теория солитонов: метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
Калоджеро Ф., Дегасперис А. . Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1985. — 472 с.
Лэм Дж. мл. . Введение в теорию солитонов: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
Марченко В. А. . Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.

[_796568498493590e-1] Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 20.

[_c7357895069487a8-2] ¹ ² Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод, 1992.

[3] Gardner C. S.; Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for Solving the Korteweg-deVries Equation (англ.) // Physical review letters. — 1967. — Vol. 19. — P. 1095–1097.

[4] Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1965. — Vol. 15. — P. 240-243.

[5] Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves (англ.) // Comm. Pure Appl. Math.. — 1968. — Vol. 21. — P. 467-490.

[6] Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — С. 118-134.

[7] Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sin-Gordon equation (англ.) // Phys. Rev. Lett. — 1973. — Vol. 30. — P. 1262-1264.

[8] Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems (англ.) // Stud. Appl. Math.. — 1974. — Vol. 53. — P. 249-315.

[_e5b5234b28f53b7f-9] Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Предисловие.

[_d75c26d3684874c8-10] Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи, 1987, п. 1.1.

[_7965694984935ac5-11] Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 34.

[_aabe7bb905a63df0-12] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 26-28.

[_bb9e8a1809cc617f-13] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений, 1985, с. 28.

[_7965694984935ac7-14] ¹ ² Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, с. 36.

[_e23846a3e4d7b25f-15] Захаров В. Е. и др. Теория солитонов: метод обратной задачи, 1980, Глава I, §3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]