Метод бисекции (Bymk; Qnvytenn)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Bisection_method.svg/250px-Bisection_method.svg.png)
Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.
Обоснование
[править | править код]Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:
Пусть непрерывная функция , тогда, если , то .
Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.
Точность вычислений задаётся одним из двух способов:
- по оси , что ближе к условию из описания алгоритма; или
- , по оси , что может оказаться удобным в некоторых случаях.
Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.
Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.
Описание алгоритма
[править | править код]Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения
Для начала итераций необходимо знать отрезок значений , на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.
Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:
в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.
Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:
так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции в точках и можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции в этих точках, что требует меньшего машинного времени.
Из непрерывности функции и условия (2.2) следует, что на отрезке существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции функция может иметь несколько корней на отрезке, тогда метод приводит к нахождению одного из них).
Найдём значение в середине отрезка:
в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:
а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле: и новую середину по формуле:
Вычислим значение функции в середине отрезка :
- Если или, в действительных вычислениях, , где — заданная точность по оси , то корень найден.
- Иначе или, в действительных вычислениях, , то разобьём отрезок на два равных отрезка: и .
Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:
- Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке, или , то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка . Тогда возьмём левый отрезок присвоением , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности по оси .
- Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке, или , то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка . Тогда возьмём правый отрезок присвоением , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности по оси .
За количество итераций деление пополам осуществляется раз, поэтому длина конечного отрезка в раз меньше длины исходного отрезка.
Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений по оси [1], в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси : . В этом методе отрезок на оси может достичь заданной величины , а значения функций (особенно крутых) на оси могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.
В дискретных функциях и — это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность не может быть меньше .
Псевдокод
[править | править код];Пусть
- xn — начало отрезка по х;
- xk — конец отрезка по х;
- xi — середина отрезка по х;
- epsy — требуемая точность вычислений по y (заданное приближение интервала [xn; xk] : xk — xn к нулю).
Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:
- Начало.
- Ввод xn, xk, epsy.
- Если F(xn) = 0, то Вывод (корень уравнения — xn).
- Если F(xk) = 0, то Вывод (корень уравнения — xk).
- Пока xk — xn > epsy повторять:
- dx := (xk — xn)/2;
- xi := xn + dx;
- если sign(F(xn)) ≠ sign(F(xi)), то xk := xi;
- иначе xn := xi.
- конец повторять
- Вывод (Найден корень уравнения — xi с точностью по y — epsy).
- Конец.
Поиск значения корня монотонной дискретной функции
[править | править код]Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.
Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.
Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.
Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).
леваяГраница = левГран
праваяГраница = правГран
while (праваяГраница - леваяГраница > 1) {
длинаОтрезка = правГран - левГран
половинаОтрезка = int(длинаОтрезка / 2)
середина = леваяГраница + половинаОтрезка
if (sign(массив[леваяГраница]) ≠ sign(массив[середина]))
праваяГраница = середина
else
леваяГраница = середина
}
printf середина
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Ю. Губарь, Курс "Введение в математическое моделирование" Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений: Метод половинного деления // Интуит.ру, 15.03.2007
Литература
[править | править код]- Волков Е. А. Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем. § 26. Метод деления отрезка пополам // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 190. — 248 с.
- Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1985), "2.1 The Bisection Algorithm", Numerical Analysis (3rd ed.), PWS Publishers, ISBN 0-87150-857-5
Ссылки
[править | править код]- Метод бисекции на сервере применения Mathcad.
- Метод бисекции Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
- Использование метода бисекции в программировании свободно распространяемая программа для вычисления изоэлектрической точки.