Метод бисекции (Bymk; Qnvytenn)

Не следует путать с Двоичный поиск.

Не следует путать с Дихотомия.

Несколько шагов метода деления пополам применяются к начальному диапазону [a₁;b₁]. Большая красная точка — это корень функции.

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

Обоснование

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Пусть непрерывная функция $f(x)\in \mathrm {C} ([a,\;b])$, тогда, если $sign(f(a))\neq sign(f(b))$, то $\exists c\in [a,\;b]:\;f(c)=0$.

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

1. $\varepsilon _{f(x)}$ по оси $y$, что ближе к условию $f(x)=0$ из описания алгоритма; или
2. $\varepsilon _{x}$, по оси $x$, что может оказаться удобным в некоторых случаях.

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритма

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

$f(x)=0.\qquad (1)$

Для начала итераций необходимо знать отрезок $[x_{L},x_{R}]$ значений $x$, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

$f(x_{L})\cdot f(x_{R})<0,\qquad (2.1)$

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

$sign(f(x_{L}))\neq sign(f(x_{R})),\qquad (2.2)$

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции $f(x)$ в точках $x_{L}$ и $x_{R}$ можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции $f(x)$ в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Из непрерывности функции $f(x)$ и условия (2.2) следует, что на отрезке $[x_{L},x_{R}]$ существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции $f(x)$ функция может иметь несколько корней на отрезке, тогда метод приводит к нахождению одного из них).

Найдём значение $x$ в середине отрезка:

$x_{M}=(x_{L}+x_{R})/2,\qquad (3)$

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

$x_{D}=(x_{R}-x_{L}),$

а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле: $x_{D}=x_{D}/2$ и новую середину по формуле:

$x_{M}=x_{L}+x_{D}.$

Вычислим значение функции $f(x_{M})$ в середине отрезка $x_{M}$:

• Если $f(x_{M})=0$ или, в действительных вычислениях, $|f(x_{M})|\leq \varepsilon _{f(x)}$, где $\varepsilon _{f(x)}$ — заданная точность по оси $y$, то корень найден.
• Иначе $f(x_{M})\neq 0$ или, в действительных вычислениях, $|f(x_{M})|>\varepsilon _{f(x)}$, то разобьём отрезок $[x_{L},x_{R}]$ на два равных отрезка: $[x_{L},x_{M}]$ и $[x_{M},x_{R}]$.

Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:

• Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке, $f(x_{L})\cdot f(x_{M})<0$ или $sign(f(x_{L}))\neq sign(f(x_{M}))$, то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка $[x_{L},x_{M}]$. Тогда возьмём левый отрезок присвоением $x_{R}=x_{M}$, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности $\varepsilon _{f(x)}$ по оси $y$.
• Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке, $f(x_{M})\cdot f(x_{R})<0$ или $sign(f(x_{M}))\neq sign(f(x_{R}))$, то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка $[x_{M},x_{R}]$. Тогда возьмём правый отрезок присвоением $x_{L}=x_{M}$, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности $\varepsilon _{f(x)}$ по оси $y$.

За количество итераций $N$ деление пополам осуществляется $N$ раз, поэтому длина конечного отрезка в $2^{N}$ раз меньше длины исходного отрезка.

Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений $\varepsilon _{x}$ по оси $x$, в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси $x$: $(x_{R}-x_{L})>\varepsilon _{x}$. В этом методе отрезок на оси $x$ может достичь заданной величины $\varepsilon _{x}$, а значения функций $f(x)$ (особенно крутых) на оси $y$ могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях $f(x)$ этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.

В дискретных функциях $x_{L},x_{M}$ и $x_{R}$ — это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность $(x_{R}-x_{L})$ не может быть меньше $\varepsilon _{x}=1$.

Псевдокод

;Пусть

• x_n — начало отрезка по х;
• x_k — конец отрезка по х;
• x_i — середина отрезка по х;
• eps_y — требуемая точность вычислений по y (заданное приближение интервала [x_n; x_k] : x_k — x_n к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

1. Начало.
2.     Ввод x_n, x_k, eps_y.
3.     Если F(x_n) = 0, то Вывод (корень уравнения — x_n).
4.     Если F(x_k) = 0, то Вывод (корень уравнения — x_k).
5.     Пока x_k — x_n > eps_y повторять:
6.         dx := (x_k — x_n)/2;
7.         x_i := x_n + dx;
8.         если sign(F(x_n)) ≠ sign(F(x_i)), то x_k := x_i;
9.         иначе x_n := x_i.
10.     конец повторять
11.     Вывод (Найден корень уравнения — x_i с точностью по y — eps_y).
12. Конец.

Поиск значения корня монотонной дискретной функции

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Псевдокод:

леваяГраница = левГран
праваяГраница = правГран
while (праваяГраница - леваяГраница > 1) {
   длинаОтрезка = правГран - левГран
   половинаОтрезка = int(длинаОтрезка / 2) 
   середина = леваяГраница + половинаОтрезка
   if (sign(массив[леваяГраница]) ≠ sign(массив[середина]))
      праваяГраница = середина
   else
      леваяГраница = середина
}
printf середина

См. также

• Линейный поиск
• Двоичный поиск
• Метод дихотомии
• Метод золотого сечения
• Троичный поиск
• Метод Ньютона

Литература

• Волков Е. А. Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем. § 26. Метод деления отрезка пополам // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 190. — 248 с.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1985), "2.1 The Bisection Algorithm", Numerical Analysis (3rd ed.), PWS Publishers, ISBN 0-87150-857-5

Ссылки

• Метод бисекции на сервере применения Mathcad.
• Метод бисекции Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
• Использование метода бисекции в программировании свободно распространяемая программа для вычисления изоэлектрической точки.