Метод Чаплыгина (Bymk; Cghldinug)
Ме́тод Чаплы́гина (также известен как метод двухсторонних приближений[1]) — метод приближённого решения дифференциальных уравнений с заданной степенью точности, который был предложен С. А. Чаплыгиным и основывается на теореме Чаплыгина. Метод предназначен для решения задачи Коши для системы ОДУ первого порядка (либо для одного ОДУ порядка выше первого) и состоит в построении двух семейств барьерных решений, последовательно приближающихся к точному решению системы.
Описание метода
[править | править код]Основная идея
[править | править код]Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:
.
Тогда требуется найти две функции и , равные искомому интегралу в точке и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству . Можно сказать, что функции и совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A — ), внутри которого проходит функция , причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.
Алгоритм (для уравнения первого порядка)
[править | править код]Требуется решить уравнение , причём функция удовлетворяет условию Липшица.
- Найдём две функции и такие, что в точке они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале выполняется:
;
.
Эти функции будем считать первым приближением решения. - Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение и , тогда следующим приближением будут функции:
;
;
;
.
Здесь L — константа Липшица для функции .
Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции по в области , то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности и , одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения с и при фиксированном , а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём . Тогда функции и могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
;
Сходимость[2]
[править | править код]Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n, .
Примечания
[править | править код]- ↑ § О2. Дифференциальные и интегральные неравенства . Дата обращения: 8 июня 2014. Архивировано 19 июля 2014 года.
- ↑ Березин, Жидков — стр. 268—269.
Литература
[править | править код]- Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / Под ред. В. К. Гольцмана. — Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
- Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — Т. 2. — С. 260-277.