Матрица Коши (линейная алгебра) (Bgmjneg Tkon (lnuywugx gliyQjg))
В математике матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это матрица размера m × n с элементами вида
где и являются элементами поля , а последовательности и таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).
Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при
Каждая подматрица (матрица, получающаяся вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.
Определители Коши
[править | править код]Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров и . Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые стремятся к , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известна. На самом деле других нулей и полюсов нет.
Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:
- (Schechter 1959, eqn 4).
Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A−1 = B = [bij] имеет вид:
- (Schechter 1959, Theorem 1)
где Ai(x) и Bi(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей и , соответственно. То есть
- и
где
- и
Обобщение
[править | править код]Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид
Обозначив X=diag(xi), Y=diag(yi), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:
(в случае матриц Коши ). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для
- приближённого умножения матрицы Коши на вектор за операций,
- LU-разложение за операций (алгоритм GKO), и соответствующий алгоритм решения систем линейных уравнений с такими матрицами,
- неустойчивые алгоритмы для решения систем линейных уравнений за операций.
Через обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- A. Gerasoulis. A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1988. — Vol. 50, no. 181. — P. 179—188.
- I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky. Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1995. — Vol. 64, no. 212. — P. 1557—1576.
- P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin. An algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices (англ.) // Computers and Mathematics with Applications : journal. — 2005. — Vol. 50. — P. 741—752.
- S. Schechter. On the inversion of certain matrices (англ.) // Mathematical Tables and Other Aids to Computation[англ.] : journal. — 1959. — Vol. 13, no. 66. — P. 73—77.