Матрицант (Bgmjnegum)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Матрица́нт — фундаментальная матрица решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

— однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке . (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

, ( — единичная матрица)

если матричная функция локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение системы записывается в виде .

Представление в виде ряда

[править | править код]

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

Представление в виде экспоненты

[править | править код]

Если матрица удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

где — коммутатор, то матрицант примет вид:

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

Определитель матрицанта

[править | править код]

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

Тогда с учётом формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

Литература

[править | править код]

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.