Локальная теорема Муавра — Лапласа (Lktgl,ugx mykjybg Brgfjg — Lghlgvg)

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из $n$ независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события $E$ равна $p\in (0,1)$, и $m$ — число испытаний, в которых $E$ фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших $n$) к значению интеграла Лапласа.

Применение

При рассмотрении количества $m$ появлений события $A$ в $n$ испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что $m$ заключено между некоторыми значениями $a$ и $b$. Так как при достаточно больших $n$ промежуток $[a,b]$ содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(n-m)!}}p^{m}q^{n-m}$

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что $p$ фиксировано, а $n\rightarrow +\infty$. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Формулировка

Если в схеме Бернулли $n$ стремится к бесконечности, величина $p\in (0,1)$ постоянна, а величина $x_{m}={\frac {m-np}{\sqrt {npq}}}$ ограничена равномерно по $m$ и $n$ (то есть $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$), то

$P_{n}(m)={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)(1+\alpha _{n}(m))$

где $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$.

Приближённую формулу

$P_{n}(m)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)$

рекомендуется применять при $n>100$ и при $m>20$.

Доказательство

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

$s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s}},$ (1)

где $0<\theta _{s}<1/{12s}$.

При больших $s$ величина $\theta$ очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде

$s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}$ (2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при $s\rightarrow +\infty$.

Нас будут интересовать значения $m$, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном $p$ условие $n\rightarrow +\infty$ будет также означать, что

$m\rightarrow +\infty ,n-m\rightarrow +\infty .$ (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

$p_{n}(m)\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(n-m)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{m}\left({\frac {nq}{n-m}}\right)^{n-m}.$ (4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

$x_{m}={\frac {m}{n}}-p.$ (5)

Тогда выражение (4) приобретает вид:

$p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^{-n(q-x_{m})}.$ (6)

Предположим, что

$x_{m}<pq.$ (7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

$-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln {\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=$

$-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_{m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3}}}-\cdots \right)\right].$ (8)

Располагаем члены этого разложения по степеням $x_{m}$:

$-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\right)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2}}}\right)+\cdots \right].$ (9)

Предположим, что при $n\rightarrow +\infty ,$

$nx_{m}^{3}\rightarrow 0.$ (10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения $m$ не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

$-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.$ (11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

$p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}\right)}.$ (12)

Обозначив

$\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},$ (13)

переписываем (12) в виде

$p_{n}(m)\approx {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),$ (14)

Где $\varphi (x_{m})$ — нормальная функция.

Поскольку в интервале $[m,m+1)$ имеется только одно целое число $m$, то можно сказать, что $p_{n}(m)$ есть вероятность попадания $m$ в интервал $[m,m+1)$. Из (5) следует, что изменению $m$ на 1 соответствует изменение $x_{m}$ на

$\Delta x={\frac {1}{n}}.$ (15)

Поэтому вероятность попадания $m$ в интервал $[m,m+1)$ равна вероятности попадания $x_{m}$ в промежуток $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

$P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.$ (16)

Если $n\rightarrow +\infty$, то $\Delta x\rightarrow +0$ и равенство (16) показывает, что нормальная функция $\varphi (x)$ является плотностью случайной переменной $x_{m}$.

Таким образом, если $n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$ то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой $\varphi (x)$ — нормальная функция с $x_{m}=0$ и $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$.

Таким образом, теорема доказана.

Литература

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М.: Высшее образование. 2005
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.