Логарифмический декремент колебаний (Lkigjnsbncyvtnw ;ytjybyum tklyQgunw)

Логарифми́ческий декреме́нт колеба́ний (декреме́нт затуха́ния; от лат. decrementum — «уменьшение, убыль») — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины x в одну и ту же сторону:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Логарифмический декремент колебаний равен коэффициенту затухания β, умноженному на период колебаний T:

\lambda =\beta T.

Этот параметр применяется, как правило, для линейных колебательных систем, поскольку в нелинейных системах период колебания, вообще говоря, зависит от амплитуды, а закон убывания амплитуды отличается от экспоненциального. В линейных системах колеблющаяся величина изменяется со временем как

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

где A = x(0) — начальная амплитуда, t — время, ω = 2π/T — циклическая частота колебания.

Обозначив X_n = x(nT), получаем отсюда, что отношение величин X_k и X_k+1 равно

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac {\cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))}}=e^{\beta T}.

Логарифмический декремент равен показателю этой экспоненты:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Если энергия колебательной системы пропорциональна x, то её добротность (относительная потеря энергии за время нарастания фазы на 1 радиан) равна

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-2\lambda }}},

а логарифмический декремент выражается через добротность как

\lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

Для систем с высокой добротностью (т. е. со слабым затуханием) $\lambda \ll 1,$ поэтому можно, разложив $e^{-\lambda }$ в ряд Маклорена по λ, ограничиться первыми двумя членами и заменить в этих формулах $e^{-\lambda }$ на $1-\lambda ,$ что приводит к