Логарифмические тождества (Lkigjnsbncyvtny mk';yvmfg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Данная статья содержит сводку разнообразных алгебраических и аналитических тождеств, связанных с логарифмами. Эти тождества особенно полезны при решении алгебраических и дифференциальных уравнений, содержащих логарифмы.

Далее все переменные подразумеваются вещественными, основания логарифма и логарифмируемые выражения положительны, причём основание логарифма не равно 1. Обобщение на комплексные числа см. в статье Комплексный логарифм.

Алгебраические тождества

[править | править код]

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество[1]:

Ещё несколько равенств, очевидных из определения логарифма:

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

[править | править код]

Сводка тождеств[2]:

Формула Пример Доказательство
Произведение
Частное от деления
Степень
Степень в основании
Корень
Корень в основании

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

Логарифм суммы и разности

[править | править код]

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

здесь

Обобщение:

Замена основания логарифма

[править | править код]

Логарифм по основанию можно преобразовать[3] в логарифм по другому основанию :

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

Другие тождества

[править | править код]

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

Ещё одно полезное тождество:

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

Аналитические тождества

[править | править код]

Предельные соотношения

[править | править код]

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами[4]:

Производная и интеграл

[править | править код]

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

Определение логарифма через определённый интеграл:

Первообразная для логарифма:

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим е по порядку гармоническое число:

Далее обозначим:

()

Мы получаем последовательность функций:

и т. д. Тогда имеют место тождества:

()
()

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
  • Шахмейстер А. Х. Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей. — изд. 5-е. — СПб.: МЦНМО, 2016. — 288 с. — ISBN 978-5-4439-0648-5.