Кубическая пирамида (TrQncyvtgx hnjgbn;g)

Кубическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной кубической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида^[англ.]
Символ Шлефли	( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }]
Ячеек	7
Граней	18
Рёбер	20
Вершин	9
Двойственный политоп	Октаэдрическая пирамида

Куби́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида^[англ.], имеющая основанием куб.

Описание

Ограничена 7 трёхмерными ячейками — 6 квадратными пирамидами и 1 кубом. Кубическая ячейка окружена всеми шестью пирамидальными; каждая пирамидальная ячейка окружена кубической и четырьмя пирамидальными.

У кубической пирамиды 18 граней — 6 квадратов и 12 треугольников. Каждая квадратная грань разделяет кубическую и пирамидальную ячейки, каждая треугольная — две пирамидальных.

Имеет 20 рёбер. На каждом ребре сходятся по три грани и по три ячейки: для 12 рёбер это две квадратных и треугольная грани, кубическая и две пирамидальных ячейки; для остальных 8 рёбер — три треугольных грани, три пирамидальных ячейки.

Имеет 9 вершин. В 8 вершинах сходятся по 4 ребра, по 6 граней (три квадратных, три треугольных) и по 4 ячейки (кубическая, три пирамидальных); в 1 вершине — 8 рёбер, все 12 треугольных граней и все 6 пирамидальных ячеек.

Правильногранная кубическая пирамида

Если все рёбра кубической пирамиды имеют равную длину $a$ , все её грани являются правильными многоугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

V_{4}={\frac {1}{8}}\;a^{4}=0{,}1250000a^{4},

S_{3}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 2{,}4142136a^{3}.

Высота пирамиды при этом будет равна

H={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,

радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —

R=a=1{,}0000000a,

радиус большей полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a,

радиус меньшей полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней) —

\rho _{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}5176381a,

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

r={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)a\approx 0{,}2071068a.

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды; центры описанной и большей полувписанной гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды, симметричной вершине пирамиды относительно её основания; центр меньшей полувписанной гиперсферы — в другой точке вне пирамиды.

Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины двадцатичетырёхъячейника и всех 8 соседних вершин, соединённых с ней ребром.

Угол между двумя смежными пирамидальными ячейками будет равен $120^{\circ },$ как и между смежными октаэдрическими ячейками в двадцатичетырёхъячейнике. Угол между кубической ячейкой и любой пирамидальной будет равен $45^{\circ }.$

В координатах

Правильногранную кубическую пирамиду с длиной ребра $2$ можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

$\left(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;1\right).$

При этом центры описанной и большей полувписанной гиперсфер будут располагаться в точке $(0;\;0;\;0;\;-1),$ центр меньшей полувписанной гиперсферы — в точке $(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {3}}-2),$ центр вписанной гиперсферы — в точке $(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {2}}-1).$

Заполнение пространства

Тессеракт можно разрезать на 8 одинаковых правильногранных кубических пирамид (с вершинами в центре тессеракта и основаниями на его восьми кубических ячейках) — подобно тому, как куб разрезается на 6 одинаковых квадратных пирамид (которые, однако, в данном случае правильногранными не будут).

А поскольку тессерактами возможно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, правильногранная кубическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

Доказать это можно и по-другому: разрезав двадцатичетырёхъячейник (также заполняющий четырёхмерное пространство) на 16 одинаковых правильногранных кубических пирамид.

Ссылки

Richard Klitzing. Cubical pyramid