Начал профессиональную карьеру в 2010 году в составе клуба Молодёжной хоккейной лиги «Стальные Лисы», в составе которого в сезоне 2010/11 стал финалистом Кубка Харламова, набрав 28 (17+11) очков в 59 проведённых матчах. В следующем году на драфте НХЛ он был выбран в 5 раунде под общим 124 номером клубом «Флорида Пантерз»[1]. 22 сентября 2011 года в матче против чеховского «Витязя» дебютировал в КХЛ, а спустя месяц в матче против челябинского «Трактора» забросил свою первую шайбу в лиге[2].
В составе сборной России принимал участие в молодёжном чемпионате мира 2012 года, на котором он вместе с командой стал серебряным призёром, набрав 4 (2+2) очка в 7 проведённых матчах. На втором в его жизни, уже бронзовом, молодёжном чемпионате мира 2013 года набрал 4 (3+1) очка в 7 играх, забросив три шайбы в матче против команды Германии.
29 октября 2011 года Косов попал в аварию, на скорости 120 км/ч врезавшись в автомобиль ВАЗ 2106. В результате он получил закрытую черепно-мозговую травму, смещение позвонков и тяжелое сотрясение мозга[3]. Тем не менее, уже 16 ноября Ярослав вернулся на лёд, в первом же матче отметившись заброшенной шайбой и двумя результативными передачами[4].
В январе 2019 года был отчислен из ХК «Нефтехимик» за пьяный дебош в гостинице г. Казани, который произошел в декабре 2018 г.[5]
