Конструкция Proj (Tkuvmjrtenx Proj)
Proj — конструкция, аналогичная конструкции аффинных схем как спектров колец, с помощью которой строятся схемы, обладающие свойствами проективных пространств и проективных многообразий.
В этой статье все кольца считаются коммутативными кольцами с единицей.
Proj градуированного кольца
[править | править код]Proj как множество
[править | править код]Пусть — градуированное кольцо, где
есть разложение в прямую сумму, ассоциированное с градуировкой.
Обозначим через идеал Определим множество Proj S как множество всех однородных простых идеалов, не содержащих
В дальнейшем мы иногда для краткости будем обозначать Proj S как X.
Proj как топологическое пространство
[править | править код]Мы можем определить топологию, называемую топологией Зарисского, на Proj S, определяя замкнутые множества как множества вида
где a — однородный идеал S. Как и в случае аффинных схем, легко проверяется, что V(a) — это замкнутые множества некоторой топологии на X.
Действительно, если — семейство идеалов, то и если множество I конечно, то .
Эквивалентно, можно начать с открытых множеств и определить
Стандартное сокращение состоит в том, чтобы обозначать D(Sf) как D(f), где Sf — это идеал, порождённый f. Для любого a, D(a) и V(a) очевидным образом дополнительны и приведённое выше доказательство показывает, что D(a) образуют топологию на Proj S. Преимущество этого подхода в том, что D(f), где f пробегает все однородные элементы S, образуют базис этой топологии, что является необходимым инструментом для изучения Proj S, аналогично случаю спектров колец.
Proj как схема
[править | править код]Мы также строим пучок на Proj S, называемый структурным пучком, который превращает его в схему. Как и в случае конструкции Spec существует несколько способов это сделать: наиболее прямой из них, который также напоминает конструкцию регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, состоит в следующем. Для любого открытого множества U в Proj S мы определяем кольцо как множество всех функций
(где обозначает подкольцо локального кольца точки , состоящее из частных однородных элементов одинаковой степени) таких, что для каждого простого идеала p в U:
- f(p) является элементом ;
- существует открытое подмножество V множества U, содержащее p, и однородные элементы s, t кольца S одинаковой степени, такие, что для каждого простого идеала q в V:
- t не лежит в q;
- f(q) = s/t.
Из определения немедленно следует, что образуют пучок колец на Proj S, и можно показать, что пара (Proj S, ) является схемой (при этом каждое подмножество D(f) является аффинной схемой).
Пучок, ассоциированный с градуированным модулем
[править | править код]Существенным свойством S в конструкции выше была возможность построения локализаций для каждого простого идеала p в S. Этим свойством также обладает любой градуированный модуль M над S, и, следовательно, конструкция из раздела выше с небольшими изменениями позволяет построить для такого M пучок -модулей на Proj S, обозначаемый . По построению этот пучок является квазикогерентным. Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции.[1] Соответствующий градуированный модуль не является единственным.
Скручивающий пучок Серра
[править | править код]Частный случай пучка, ассоциированного с градуированным модулем — это когда в качестве M мы берём само S с другой градуировкой: а именно, мы считаем элементами степени d модуля M элементы степени (d + 1) кольца S и обозначаем M = S(1). Мы получаем квазикогерентный пучок на Proj S, обозначаемый или просто O(1) и называемый скручивающим пучком Серра. Можно проверить, что O(1) является обратимым пучком.
Одна из причин полезности O(1) состоит в том, что он позволяет восстановить алгебраическую информацию об S, которая была потеряна в конструкции при переходе к частным степени 0. В случае Spec A для кольца A, глобальные сечения структурного пучка являются самим A, тогда как в нашем случае глобальные сечения пучка состоят из элементов S степени 0. Если мы определим
то каждое O(n) содержит информацию степени n об S. Аналогично, для пучка -модулей N, ассоциированного с S-модулем M мы можем определить
и ожидать, что этот подкрученный пучок содержит потерянную информацию об M. Это позволяет предположить, хотя и неправильно, что S можно восстановить из этих пучков; это на самом деле верно, если S является кольцом многочленов, см. ниже.
n-мерное проективное пространство
[править | править код]Если A — кольцо, мы определяем n-мерное проективное пространство над A как схему
Мы определяем градуировку на кольце , полагая, что каждое имеет степень 1 и каждый элемент A имеет степень 0. Сопоставляя это с определением O(1), данным выше, мы видим, что сечения O(1) — это линейные однородные многочлены, порождаемые элементами .
Примеры
[править | править код]- Если мы возьмём как базовое кольцо , то имеет канонический проективный морфизм на аффинную прямую , слои которого являются эллиптическими кривыми, кроме слоёв над точками , над которыми слои вырождаются в нодальные кривые.
- Проективная гиперповерхность является примером трёхмерной квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби — Яу.
- Если мы рассмотрим тривиальную градуировку на , то есть и для , то .
- Взвешенные проективные пространства[англ.] можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. Например, the взвешенное проективное пространство соответствует взятию кольца где имеют степень , тогда как имеет степень 2.
- Биградуированное кольцо соответствует подсхеме произведения проективных пространств. Например, биградуированная алгебра , где имеют степень и имеют степень , соответствует .
Примечания
[править | править код]- ↑ Ravi Vakil. Foundations of Algebraic Geometry. — 2015. Архивировано 10 мая 2017 года., Corollary 15.4.3.
Литература
[править | править код]- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.