У этого термина существуют и другие значения, см.
Кинк .
Кинк — это решение уравнений поля в некоторых теориях поля в
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
измерениях, интерполирующее между двумя вакуумами при изменении пространственной координаты от
−
∞
{\displaystyle -\infty }
до
+
∞
{\displaystyle +\infty }
. Кинк является простейшим топологическим солитоном .
Вид
V
(
ϕ
)
{\displaystyle V(\phi )}
при
λ
=
2
,
μ
=
2
{\displaystyle \lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}}
.
Рассмотрим[ 1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
с действием
S
=
∫
d
2
x
[
1
2
ϕ
,
μ
ϕ
,
μ
−
V
(
ϕ
)
]
,
{\displaystyle S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right],}
где
ϕ
{\displaystyle \phi }
— потенциал поля,
μ
=
0
,
1
{\displaystyle \mu =0,1}
, а
V
(
ϕ
)
=
−
μ
2
2
ϕ
2
+
λ
4
ϕ
4
+
μ
4
4
λ
=
λ
4
(
ϕ
2
−
v
2
)
2
,
v
=
μ
λ
.
{\displaystyle V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}.}
Действие инвариантно относительно дискретного преобразования
ϕ
=
−
ϕ
{\displaystyle \phi =-\phi }
; эта симметрия спонтанно нарушается, так как классические вакуумы равны
ϕ
v
a
c
=
±
v
{\displaystyle \phi ^{vac}=\pm v}
.
Из принципа наименьшего действия получается уравнение поля
ϕ
,
μ
μ
+
∂
V
(
ϕ
)
∂
ϕ
=
0.
{\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0.}
Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при
x
0
=
0
,
λ
=
2
,
μ
=
2
{\displaystyle x_{0}=0,~~\lambda =2,~~\mu ={\sqrt {2}}}
.
Будем искать статическое, то есть не зависящее от времени решение уравнений поля. В этом случае уравнение поля сводится к
ϕ
″
−
∂
V
(
ϕ
)
∂
ϕ
=
0
,
{\displaystyle \phi ''-{\frac {\partial V(\phi )}{\partial \phi }}=0,}
где штрих обозначает производную по пространственной координате.
Полученное уравнение имеет следующее решение:
ϕ
=
v
tanh
(
±
λ
2
v
(
x
−
x
0
)
)
=
μ
λ
tanh
(
±
μ
2
x
)
,
{\displaystyle \phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)},}
где
x
0
{\displaystyle x_{0}}
— постоянная интегрирования. Данное решение и является простейшим статическим кинком , интерполирующим между вакуумами
−
v
{\displaystyle -v}
и
+
v
{\displaystyle +v}
при изменении пространственной координаты от
−
∞
{\displaystyle -\infty }
до
+
∞
{\displaystyle +\infty }
. Решение со знаком
−
{\displaystyle -}
называется антикинком .
Размер кинка имеет порядок величины
r
k
=
μ
−
1
{\displaystyle r_{k}=\mu ^{-1}}
, то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка
ϵ
(
x
)
=
1
2
ϕ
′
2
+
V
(
ϕ
)
=
λ
2
v
4
1
cosh
4
(
μ
2
(
x
−
x
0
)
)
{\displaystyle \epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{\frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(x-x_{0}))}}}
существенно отличается от нуля только в области
|
x
−
x
0
|
≲
r
k
{\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k}}
.
Статическая энергия кинка равна
∫
−
∞
∞
ϵ
(
x
)
d
x
=
2
3
m
v
2
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},}
где
m
=
2
μ
{\displaystyle m={\sqrt {2}}\mu }
— масса элементарного возбуждения.
Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:
ϕ
=
μ
λ
tanh
(
±
μ
2
(
x
−
x
0
)
−
u
t
1
−
u
2
)
,
{\displaystyle \phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}{\frac {(x-x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}})},}
где
u
{\displaystyle u}
— скорость движущегося кинка.
Рассмотрим[ 1] теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
с лагранжианом
Λ
=
ϕ
,
μ
ϕ
¯
,
μ
+
μ
2
ϕ
ϕ
¯
−
λ
2
(
ϕ
ϕ
¯
)
2
.
{\displaystyle \Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac {\lambda }{2}}(\phi {\bar {\phi }})^{2}.}
Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:
ϕ
,
μ
μ
=
μ
2
ϕ
−
λ
ϕ
2
ϕ
¯
,
{\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi }},}
ϕ
¯
,
μ
,
μ
=
μ
2
ϕ
¯
−
λ
ϕ
¯
2
ϕ
.
{\displaystyle {\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^{2}\phi .}
Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля
ϕ
=
ϕ
¯
=
μ
λ
tanh
(
±
μ
2
x
)
.
{\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2}}}x)}.}
Кинк в уравнении синус-Гордона
Рассмотрим[ 1] теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
с лагранжианом
Λ
=
ϕ
,
μ
ϕ
,
μ
+
m
2
v
2
[
cos
ϕ
v
−
1
]
.
{\displaystyle \Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1].}
Принцип наименьшего действия приводит к уравнению
ϕ
,
μ
μ
+
m
2
v
sin
ϕ
v
=
0
,
{\displaystyle \phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v}}=0,}
Антикинк в уравнении синус-Гордона
которое заменой
x
→
m
x
,
t
→
m
t
,
ϕ
→
ϕ
v
{\displaystyle x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v}}}
приводится к уравнению синус-Гордона
ϕ
t
t
−
ϕ
x
x
+
sin
ϕ
=
0
,
{\displaystyle \phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,}
имеющему следующие частные решения[ 2] , представляющие движущиеся со скоростью
v
{\displaystyle v}
кинки, интерполирующие между вакуумами
ϕ
0
=
2
π
k
,
k
∈
Z
{\displaystyle \phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z} }
и
ϕ
0
+
2
π
{\displaystyle \phi _{0}+2\pi }
при изменении
x
{\displaystyle x}
от
−
∞
{\displaystyle -\infty }
до
+
∞
{\displaystyle +\infty }
:
ϕ
(
x
,
t
)
=
ϕ
0
+
4
arctan
{
exp
[
±
x
+
v
t
v
2
−
1
+
δ
]
}
,
{\displaystyle \phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}-1}}}+\delta \right]\right\},}
где
δ
{\displaystyle \delta }
— произвольная постоянная. Знак
+
{\displaystyle +}
соответствует кинку, знак
−
{\displaystyle -}
— антикинку.
↑ 1 2 3 * Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. Бозонные теории. — М. : КомКнига, 2005. — С. 133—143. — 296 с.
↑ * Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — С. 144. — 432 с.
Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля , УФН 167, 377—406 (1997) Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine .
V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ6 model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014) ; [1] .
V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ8 model, JHEP 08 (2015) 147 ; [2] .