Квазимногообразие (Tfg[nbukikkQjg[ny)
Квазимногообра́зие (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») в универсальной алгебре — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором квазитождеств (хорновскими дизъюнктами).
В отличие от многообразий — классов алгебраических систем, аксиоматизируемых тождествами — особую роль в теории квазимногообразий играют теоретико-модельные методы, тогда как многообразия в основном рассматриваются для алгебр (алгебраических систем без отношений в сигнатуре) и изучаются общеалгебраическими методами[1].
Определения
[править | править код]Для алгебраической системы с набором операций и отношений квазиатомарными считаются формулы вида:
- (или в нотации отношений: ),
- ,
где , , а — символы переменных. (Иногда равенство включают в сигнатуру алгебраической системы как отношение и в этом случае достаточно формул первого вида.)
Квазитождества — формулы вида:
где — квазиатомарные формулы с переменными . Квазимногообразие — класс алгебраических систем, задаваемый набором квазитождеств.
Характеристические свойства
[править | править код]Всякое многообразие алгебраических систем является квазимногообразием вследствие того, что всякое тождество (из квазиатомарной формулы) можно заменить, например, равносильным ему квазитождеством [2].
Если квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо[3].
Единичная алгебраическая система для заданной сигнатуры , то есть система с носителем из одного элемента , при которой и , является квазимногообразием (и, более того, многообразием). Наименьшее квазимногообразие заданной сигнатуры является многообразием, задаётся тождествами и и состоит из единственной единичной системы. Наибольшее квазимногообразие заднной сигнатуры также является многообразием — классом всех систем заданной сигнатуры, задаваемым тождеством .[4]
Всякое квазимногообразие включает произвольное фильтрованное произведение входящих в него систем[5].
Чтобы класс систем являлся квазимногообразием необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно локально замкнут, мультипликативно замкнут (содержал любое декартово произведение своих систем) и содержал единичную систему. Локальная и мультипликативная замкнутость для этого признака могут быть эквивалентно заменены на замкнутость относительно фильтрованных произведений и наследственность[уточнить][6].
Определяющие соотношения
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Свободные композиции
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Решётки квазимногообразий
[править | править код]Этот раздел не завершён. |
История
[править | править код]Первым результатом применения квазитождеств в общей алгебре считается результат Анатолия Мальцева 1939 года[7], в котором построена бесконечная серия квазитождеств, характеризующая класс вложимых в группы полугрупп. В работе 1943 года Чена Маккинси[англ.][8] связал с квазитождествами некоторые алгоритмические проблемы алгебры, а одним из результатов решения Робертом Дилуорсом[англ.] в 1945 году[9] задачи о существовании недистрибутивных решёток с единственным дополнением, стало доказательство факта, что квазимногообразия имеют свободные системы.
Теорема Новикова (1955) о неразрешимости проблемы равенства слов в группах фактически означает неразрешимость хорновой теории групп, то есть также может быть отнесена к результатам, относящимся к квазимногообразниям.
Становление теории квазимногообразий как самостоятельной ветви универсальной алгебры относится к работам Мальцева, Табаты и Фудзивары конца 1950-х — начала 1960-х годов. Доклад Мальцева на Международном конгрессе математиков 1966 года в Москве, в котором были сформулированы некоторые важные проблемы, относящиеся к квазимногообразиям, способствовал росту интереса математиков к этой ветви[10].
Особый всплеск интереса к теории квазимногообразий проявился в 1970-е годы, когда началось широкое применение хорновой логики в логическом программировании (прежде всего, в работах, связанных с языком программирования Пролог) и в теории баз данных.
Этот раздел не завершён. |
Примечания
[править | править код]- ↑ Горбунов, 1999, Принципиальное отличие состоит в том, что в теории многообразий исследуются алгебры, в то время как в теории квазимногообразий — произвольные алгебраические системы, с. viii.
- ↑ Мальцев, 1970, с. 268.
- ↑ Мальцев, 1970, с. 269—270.
- ↑ Мальцев, 1970, с. 270.
- ↑ Мальцев, 1970, с. 271.
- ↑ Мальцев, 1970, Теорема 2, Следствие 3, с. 271—272.
- ↑ Мальцев А. И. О включении ассоциативных систем в группы // Математический сборник. — 1999. — Т. 6, № 2. — С. 331—336.
- ↑ McKinsey J. The desicion problem for some classes of sentences without quqntifiers // Journal of Symbolic Logic. — 1943. — Т. 8. — С. 61—76.
- ↑ R. P. Dilworth. Lattices with unique complements // Transactions of American Mathematics Society. — 1945. — Т. 56. — С. 123—154.
- ↑ Горбунов, 1999, с. vii—viii.
Литература
[править | править код]- Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 368 с. — (Сибирская школа алгебры и логики). — ISBN 5-88119-015-7.
- Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г. Универсальные алгебры // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.