Искривлённое произведение (Nvtjnfl~uuky hjkn[fy;yuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения

Определение

[править | править код]

Пусть и — два псевдоримановых многообразия и гладкая положительная функция. Тогда произведение с метрикой называется искривлённым произведением и по функции . Точнее, касательное пространство можно идентифицировать с произведением касательных пространств и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм , она и определяется как метрический тензор в точке.

Искривлённое произведение обычно обозначается .

Функция также называется функцией искривления. Пространство называется базой, а пространство — слоем искривлённого произведения .

  • Каждый слой в изометричен .
  • Каждый уровень глобально изометричен базе .
  • Расстояния между точками полностью определяются по базе , двум точкам , функцией и расстоянием между и в слое .

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. S. B. Alexander, R. L. Bishop. Curvature bounds for warped products of metric spaces // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2004. — Т. 14, № 6. — С. 1143—1181.