Интеграл Меллина — Барнса (Numyijgl Byllnug — >gjuvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Интеграл Меллина—Барнса (Mellin—Barnes integral) или интеграл Барнса (Barnes integral) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина[3].

Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от до ), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа (которые должны оставаться справа)[4].

Гипергеометрические функции

[править | править код]

Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:

Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.

Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие обобщённой гипергеометрической функции[англ.] pFq[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой G-функции Мейера[англ.], представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким[6].

Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как функции Аппеля[англ.][7], функция Кампе де Ферье[8], функции Лауричеллы[англ.] (названные в честь Джузеппе Лауричеллы)[9] и другие.

Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для базисных гипергеометрических рядов[англ.], и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты[10].

Леммы Барнса

[править | править код]

Первая лемма Барнса гласит[1][11]

Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции при . Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.

Вторая лемма Барнса гласит[2][12]

где . Эта формула является аналогом формулы суммирования Заальшютца[англ.].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 E.W. Barnes (1908), "A new development of the theory of the hypergeometric functions", Proc. London Math. Soc. (англ.), s2-6: 141—177, doi:10.1112/plms/s2-6.1.141
  2. 1 2 E.W. Barnes (1910), "A transformation of generalised hypergeometric series", Quarterly Journal of Mathematics (англ.), 41: 136—140
  3. Eric W. Weisstein. Mellin Transform (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 12 сентября 2012. Архивировано 4 октября 2018 года.
  4. Eric W. Weisstein. Mellin-Barnes Integral (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 12 сентября 2012. Архивировано 27 сентября 2012 года.
  5. Eric W. Weisstein. Generalized Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 12 ноября 2012 года.
  6. Eric W. Weisstein. Meijer G-Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 3 ноября 2012 года.
  7. Eric W. Weisstein. Appell Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 12 ноября 2012 года.
  8. Eric W. Weisstein. Kampé de Fériet Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 1 февраля 2015 года.
  9. Eric W. Weisstein. Lauricella Functions (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 29 сентября 2011 года.
  10. George Gasper and Mizan Rahman. "Basic hypergeometric series" (неопр.). — 2nd. — Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-83357-8.
  11. Paris, Kaminski, 2001, p. 103.
  12. Paris, Kaminski, 2001, p. 105.

Литература

[править | править код]