Изотермические координаты (N[kmyjbncyvtny tkkj;nugmd)

Изотермические (или конформные) координаты — локальные координаты на поверхности, малые координатные квадраты которой близки к квадратам.

Определение

Система координат на поверхности называется изотермической, если компоненты $E,F,G$ первой квадратичной формы удовлетворяют соотношениям $E=G$ и $F=0$ .

Замечания

Координатные линии изотермической системы координат образуют так называемую изотермическую сеть.

Примеры

На поверхности вращения меридианы и параллели образуют изотермическую сеть
Асимптотическая сеть на минимальной поверхности — изотермическая сеть

Свойства

Изотермическая система координат задаёт конформное отображение на плоскость. То есть линейный элемент поверхности имеет вид:
$ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})$

где

\rho

конформный фактор.

Если гармоническая функция $u$ на поверхности имеет ненулевой градиент $\nabla _{p}u\neq 0$ то в некоторой точке $p$ , функция $u$ является координатой некоторой изотермической системы координат $(u,v)$ . Вторая функция $v$ называется сопряжённой к $u$ , она определена однозначно с точностью до сдвига и знака.

Гауссова кривизна в изотермической системе координат выражается формулой
$K=-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\Delta \phi =-{\frac {1}{2}}e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial v^{2}}}\right),$